一 定義
假設矩陣A為n*n方陣，x為n*1向量，則y=Ax表示矩陣A對向量x的線性變換結果，由於A為n*n方陣，則y為n*1向量。對大多數x進行線性變換，得到向量y與原向量x一般都不共線，只有少數向量x滿足 
，其中 
被稱為矩陣A的特征值，x 被稱為矩陣A的特征向量。
為了求解特征值 
與特征向量 x, 對上式改寫為 
，則特征向量在 
零空間中，通過選取一定特征值使得矩陣 
為奇異矩陣，即 
。根據矩陣行列式計算公式，得到關於 
的n次方程，然后根據計算出的特征值，通過尋找矩陣 
的零空間計算特征向量。
在求解特征值時，有兩個定理可以簡化計算：
1）
，矩陣A的特征值之和等於矩陣A的跡；
2）
，矩陣A的特征值之積等於矩陣A的行列式值；
以 2 * 2 矩陣為例，給出以上結論的大致解釋：
，
，
，
由於 
，上式改寫為 
，
解得 
， 
，
故 
，
。
在求解 
時，可能出現特征值 
重復情況，這可能導致特征向量 x 不足，這樣后面的分析也無法繼續。特征值重復並不一定導致特征向量不足，如單位矩陣I，雖然其特征值都為1，但有n個不同的特征向量。
針對各個元素均為實數2*2情況，其特征值可能出現負數，如矩陣 
特征值為 i 和 -i。通過觀察，如果矩陣A為對稱矩陣，其特征值為實數；如果矩陣A為反對稱矩陣，其特征值為一對共軛虛數。
也就是說矩陣越接近對稱矩陣，其特征值越有可能為實數。
二 矩陣對角化
假設矩陣A為n*n方陣，矩陣A有n個線性獨立的特征向量 
，構成特征向量矩陣
，其對應的特征值為 
，構成特征值矩陣
，則矩陣A可被對角化分解，其公式為：
，推導如下：
，
。
如果已知
，則有 
，這表明矩陣 
的特征值為矩陣A的對應特征值的平方，矩陣 
與矩陣A有相同的特征向量。以上推導也可以通過矩陣對角化公式得到：
。
針對A的任意整數次冪，可對角化為：
，這就提供了一個計算 
的方法。
如果矩陣A可逆，則有：
，其逆矩陣與原矩陣有相同的特征向量和互為倒數的特征值。
三 應用（差分方程與微分方程）
1 復利
假設銀行年利率為 .06，投資 1000 元后 5 年的收益為多少？
建立差分方程 
，為了與后面的微分方程相比較，可將其改寫為 
，
，
；
如果按月計算復利，則有 
;
如果按天計算復利，則有 
;
如果按無限小時間計算復利，則有 
，
由於 
，
；
可將差分方程 改寫為無限小距離間的差分為 
，
，
；
以上 ， 分別為復利的差分與微分方程。
2 Fibonacci序列
Fibonacci定義為：
，該表達式為二階差分，可通過一些技巧變換為一階差分：
，
。
已知
，可推導出 
。如果矩陣A可對角化，對 
可做如下變換：
，將 
詳細代入，則有 
，令 
，則 
，表明 
由特征向量S按系數向量c線性組合得到。
最終可被表示為：
。
通過以上推導，如果僅需要計算某個特定的 
值，僅需使用公式 
即可。使用 
線性組合關系，可以通過特征值取值范圍判斷k趨近無窮大時其收斂狀態；當所有特征值均滿足
，
趨近穩定狀態，可表示為：
（假設 
）或者 
（假設所有特征值絕對值都小於1）。
針對矩陣
，計算特征值為 
，
，特征向量為 
，
。根據以上分析，當k逐漸變大時，有：
。
3 Markov矩陣
Markov矩陣定義如下：
1）矩陣所有元素均滿足 
；
2）矩陣每列元素和等於1；
Markov矩陣具有如下性質：
1）
為Markov矩陣的一個特征值；
2）
對應的特征向量 
各個元素都為非負值；
3）其他特征值滿足 
；
4）Markov矩陣的冪級數穩定狀態為：
。
給出一個具體的Markov矩陣 
，假設 
是該矩陣的一個特征值，則有 
，觀察矩陣 
為奇異矩陣，
處於矩陣 
的零空間，則證明 
為Markov矩陣的一個特征值。
4 微分方程
標量常微分方程：
，求解如下：
，
，
，
；
已知 u(0)，
。
對於矢量常微分方程 
，已知 u(0)，其解為 
，其中 A 為 n * n 矩陣，u(t)，u(0) 為 n * 1 向量；
這里需要關注 
的含義：
對於實數 a, 有 
，
對於矩陣 A，有 
,
帶入 
得 
，
，以 2 * 2 矩陣為例，
可分解為：
，將各個矩陣相加得：
，
將 u(0) 分解為特征向量得線性組合 
，
，
，
以上推導出常微分方程的解，其解為每個特征向量的線性組合，與差分方程解 
類似。
矢量常微分方程：
，矩陣A特征值與特征向量為：
；
類比標量常微分方程，其解表達為： 
，將解整理：
，
，
，
，
。
觀察以上微分方程解，當所有特征值均滿足 
，u(t)收斂；當 
，u(t)發散。
參考資料：Linear Algebra And Its Applicaions Gilbert Strang