Binet-Cauchy定理的证明

若无特殊说明，本文中提到的排列指的是1~n的全排列

先定义一些东西：

1. 若\(P_i\)为一个排列，那么定义\(RP_i\)为它的逆排列，即\(RP_{P_i}=i\)；
2. 定义\(\lambda(P_i)\)为\(P_i\)的逆序对数；
3. 若\(P_i,Q_i\)是两个排列，那么定义它们的复合排列为 \(P_{Q_i}\) ，即复合排列的第i个位置上的数是\(P_{Q_i}\) 。（注意\(P_{Q_i}\)与\(Q_{P_i}\)是不同的）

性质1：\(\lambda(P_i)=\lambda(RP_i)\)

性质2： \(\lambda(P_{Q_i})\)与\(\lambda(P_i)+\lambda(Q_i)\)的奇偶性相同

以上两点感性理解吧，这里就不证了。

 

Binet-Cauchy定理：

\[det(C)=\sum_{S}det(A_S)*det(B_S) \]

其中\(A\)是一个m×n的矩阵，\(B\)是一个n×m的矩阵，\(C\)是一个n×n的矩阵，满足\(C=B*A\)

\(S\)是集合\(\{1,2,...,m\}\)的一个大小为n的子集，\(A_S\)表示由\(A\)保留\(S\)中的行得到的n×n的矩阵，\(B_S\)表示由\(B\)保留\(S\)中的列得到的矩阵。

我们下面就来证明这个定理：

P,Q是长度为n的排列

等式左边等于

\[\sum_{S}(\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod{A_{S_i,P_i}})(\sum_{Q}(-1)^{\lambda(Q)}\prod{B_{i,S_{Q_i}}}) \]

简单变换得到：

\[\sum_{S}\sum_{P}\sum_{Q}(-1)^{\lambda(P)+\lambda(Q)}\prod{A_{S_i,P_i}B_{Q_i,S_i}} \]

注意B下标中\(i\)和\(Q_i\)互换了位置，可以证明这样是正确的。
 

等式右边：

\[det(C)=\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod C_{i,P_i} \]

又因为\(C_{i,j}=\sum_{k=1}^m B_{ik}A_{kj}\)

所以\(det(C)=\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod(\sum_{k=1}^m B_{i,k}A_{k,P_i})\)

将连乘拆开，设\(R\)是一个从1~m中选n个数的可重排列，那么上式等于

\[\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\sum_{R}\prod B_{i,R_i}B_{R_i,P_i} \]

\[\sum_{R}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{i,R_i}A_{R_i,P_i} \]

又因为如果R中存在两个不同的i,j使得\(R_i=R_j\)，那么将\(P\)中\(P_i\)和\(P_j\)交换得到\(P'\)，在第二个求和符枚举到\(P\)和\(P'\)时后面式子的值会发生抵消（因为\((-1)^{\lambda(P)}\)与\((-1)^{\lambda(P')}\)互为相反数），所以我们可以把R看成一个无重排列，再将R的枚举方式变为先枚举一个大小为n的集合\(S\)，再枚举这个集合的排列\(Q\)，上式就变成了：

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{i,S_{Q_i}}A_{S_{Q_i},P_i} \]

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P}(-1)^{\lambda(P)}\prod B_{Q_i,S_i}A_{S_{i},P_{Q_i}} \]

将枚举\(P_i\)变为枚举\(P'=P_{Q_i}\)，结合之前排列的性质，上式等于

\[\sum_{S}\sum_{Q}\sum_{P'}(-1)^{\lambda(P')+\lambda(Q)}\prod B_{Q_i,S_i}A_{S_{i},P'_{i}} \]

整理得

\[\sum_{S}\sum_{P}\sum_{Q}(-1)^{\lambda(P)+\lambda(Q)}\prod{A_{S_i,P_i}B_{Q_i,S_i}} \]

这样就和等式右边一模一样了，于是定理得证。