我也不知道為啥要證明這玩意，但是我比較傻，看懂一遍之后怕忘了，所以還是寫個博客。。
首先給出這么一個定義式：
$f(n)=\sum_{d\vert n}g(d)$
於是就有這么一個定理：
$g(n)=\sum_{d\vert n}\mu(d)\cdot f(\frac nd)$
話說回來這個$\mu(d)$就是莫比烏斯函數，定義是這樣的
（1）若
，那么
（2）若
，
均為互異素數，那么
（3）其它情況下
於是有這樣的性質
（1）對任意正整數
有
（2）對任意正整數有
第一個性質其實還算好證。大概手玩一下組合數就行了。第二個我沒推也沒用上、、
下面是我xjb證的過程。。
首先要證$g(n)=\sum_{d\vert n}\mu(d)\cdot f(\frac nd)$，只要證明右邊等於$g(n)$。
右式$=\sum_{d\vert n}(\mu(d)\cdot\sum_{e\vert\frac nd}g(e))$（定義式）
$=\sum_{d\vert n}\sum_{e\vert\frac nd}(\mu(d)\cdot g(e))$（分配率）
稍微理解一下，發現其實是所有滿足$(d\cdot e)\vert n$的二元組$(d,e)$之和。
於是可以交換前兩個sum的位置即
$=\sum_{e\vert n}\sum_{d\vert\frac ne}\mu(d)\cdot g(e)$
$=\sum_{e\vert n}g(e)\cdot\sum_{d\vert\frac ne}\mu(d)$（分配率逆定律）
我們知道只有當$\frac ne=1$即$e=1$的時候后半部分才等於1，其他情況都為0。所以就等於$g(n)$。
得證。
upd
發現以前的證明不夠優美啊。狄利克雷卷積的證明真的讓人愉悅~
詳見知乎高票回答https://www.zhihu.com/question/23764267
話說回來，莫比烏斯反演的第二種形式
$g(n)=\sum_{n\vert d}\mu(\frac dn)f(d)$
求一個證明啊qwq