莫比烏斯反演也是反演定理的一種
既然我們已經學了二項式反演定理
那莫比烏斯反演定理與二項式反演定理一樣，不求甚解，只求會用
莫比烏斯反演長下面這個樣子(=・ω・=)
d|n，表示n能夠整除d，也就是d是n的所有因子
μ(x)是莫比烏斯函數，它是這樣計算的
μ(1) = 1
x = p1 * p2 * p3 ……*pk（x由k個不同的質數組成）則μ(x) = (-1)^k
其他情況，μ (x) = 0
比如
30 = 2 * 3 * 5
μ(30) = (-1)^3
4 = 2 * 2
μ(4) = 0
對於μ(d)函數，它有如下的常見性質：
（1）對任意正整數n有
（2）對任意正整數n有
求μ的函數的方法很多
這里提供一種線篩的預處理（復雜度O(n)喲~~~）
1 #include<cstdio> 2 const int N = 1e6 + 5; 3 int mu[N], vis[N], prime[N]; 4 int tot;//用來記錄prime的個數 5 void init(){ 6 mu[1] = 1; 7 for(int i = 2; i < N; i ++){ 8 if(!vis[i]){ 9 prime[tot ++] = i; 10 mu[i] = -1; 11 } 12 for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){ 13 vis[i * prime[j]] = 1; 14 if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i]; 15 else{ 16 mu[i * prime[j]] = 0; 17 break; 18 } 19 } 20 } 21 } 22 int main(){ 23 init(); 24 }
上次，有人問我μ為啥不是miu是mu
這。。。當然都可以啦，μ的英文就是mu，miu是讀音看你習慣
∑(っ °Д °;)っ為了證明我是對的，我特意百度了希臘字母讀音及科學方面應用
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大寫
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小寫
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英文讀音
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國際音標
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意義
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Α
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α
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alpha
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/ˈælfə/
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角度，系數，角加速度
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Β
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β
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beta
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/'beitə/
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磁通系數，角度，系數
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Γ
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γ
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gamma
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/'gæmə/
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電導系數，角度，比熱容比
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Δ
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δ
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delta
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/'deltə/
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變化量，屈光度，一元二次方程中的判別式
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Ε
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ε
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epsilon
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/ep'silon/
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對數之基數，介電常數
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Ζ
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ζ
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zeta
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/'zi:tə/
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系數，方位角，阻抗，相對粘度
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Η
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η
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eta
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/'i:tə/
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遲滯系數，效率
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Θ
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θ
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theta
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/'θi:tə/
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溫度，角度
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Ι
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ι ℩
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iota
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/ai'oute/
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微小，一點
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Κ
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κ
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kappa
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/kæpə/
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介質常數，絕熱指數
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∧
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λ
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lambda
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/'læmdə/
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波長，體積，導熱系數
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Μ
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μ
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mu
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/mju:/
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磁導系數，微，動摩擦系（因）數，流體動力粘度
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Ν
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ν
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nu
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/nju:/
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磁阻系數，流體運動粘度,光子頻率
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Ξ
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ξ
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xi
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/ksi/
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隨機數，（小）區間內的一個未知特定值
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Ο
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ο
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omicron
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/oumaik'rən/
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高階無窮小函數
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∏
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π
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pi
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/pai/
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圓周率，π(n)表示不大於n的質數個數
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Ρ
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ρ
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rho
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/rou/
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電阻系數，柱坐標和極坐標中的極徑，密度
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∑
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σ ς
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sigma
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/'sigmə/
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總和，表面密度，跨導，正應力
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Τ
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τ
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tau
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/tau/
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時間常數，切應力
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Υ
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υ
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upsilon
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/ju:p'silən/
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位移
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Φ
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φ
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phi
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/fai/
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磁通，角，透鏡焦度，熱流量
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Χ
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χ
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chi
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/kai/
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統計學中有卡方(χ^2)分布
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Ψ
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ψ
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psi
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/psai/
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角速，介質電通量
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Ω
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ω
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omega
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/'oumigə/
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歐姆，角速度，交流電的電角度
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其實莫比烏斯有兩種描述
莫比烏斯第一種描述，一般是這種
莫比烏斯第二種描述，這種也可以而且有些題這種更好
來做題吧
hdu 1695
http://acm.hdu.edu.cn/showproblem.php?pid=1695
（這題就是容斥那一章的，我就把下面的題意照搬過來了，還記得題目的就跳過題目吧）
題意:給你5個數a，b，c，d，k
在a~b中選一個x, c~d中選一個y，滿足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的對數
a, b, c, d, k, 0 < a <= b <= 100,000, 0 < c <= d <= 100,000, 0 <= k <= 100,000
在題目描述的最后一行有一句話，多組里面所有的a和c都是1（這題目不是坑爹嗎(╯‵□′)╯︵┻━┻那輸入a和c有什么用）
然后題目變成
在1~b中選一個x, 1~d中選一個y，滿足gcd(x,y) = k , 求(x,y) 的對數 。。。（無語中。。。）
前面思路一樣
先把問題就轉化為求1~a區間 和 1~b區間，gcd(x,y) = 1對數的問題
設f(d)為滿足gcd(x,y)=d的x,y的對數
我們根據莫比烏斯第二描述來做
那F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....
F(2) = f(2) + f(4) + f(6) +.....
我們可以看出F(d)就是滿足gcd(x,y)為d的倍數的x,y的對數
那F(d)的公式就容易求了
F(d) = (a/d) * (b/d)
（在1~a中，有a/d個數是d的倍數，在1~b中，有b/d個數是d的倍數，這些數不管怎么選擇，構成的gcd(x,y)都是d的倍數）
因為
F(1) = f(1) + f(2) + f(3) + ....
所以
f(1) = μ(1)*F(1) + μ(2)*F(2) + μ(3)*F(3) + ...
AC代碼：
1 #include<cstdio> 2 #include<algorithm> 3 using namespace std; 4 typedef long long LL; 5 const int N = 1e6 + 5; 6 int mu[N], vis[N], prime[N]; 7 int tot;//用來記錄prime的個數 8 void init(){ 9 mu[1] = 1; 10 for(int i = 2; i < N; i ++){ 11 if(!vis[i]){ 12 prime[tot ++] = i; 13 mu[i] = -1; 14 } 15 for(int j = 0; j < tot && i * prime[j] < N; j ++){ 16 vis[i * prime[j]] = 1; 17 if(i % prime[j]) mu[i * prime[j]] = -mu[i]; 18 else{ 19 mu[i * prime[j]] = 0; 20 break; 21 } 22 } 23 } 24 } 25 LL Mobius(int a, int b){ 26 LL ret = 0; 27 for(int i = 1; i <= a; i ++){//因為公式中有a/i，所以for到a就可以了 28 ret += 1ll * mu[i] * (a / i) * (b / i); 29 } 30 //我們現在求完了總對數，但是題目要求的類似(5,7)和(7,5)算一種 31 //所以接下來我們開始去重 32 LL temp = 0; 33 for(int i = 1; i <= a; i ++){ 34 temp += 1ll * mu[i] * (a / i) * (a / i); 35 } 36 return ret - temp / 2; 37 //比如a=5,b=7那么(4,6)這樣子的區間不可能有重復的(6,4) 38 //所以重復的部分只在1~a中，所以最后減去一半的重復區間就好了 39 } 40 int main(){ 41 init(); 42 int T, a, b, c, d, k; 43 scanf("%d", &T); 44 for(int cas = 1; cas <= T; cas ++){ 45 scanf("%d%d%d%d%d", &a, &b, &c, &d, &k); 46 if(k == 0){ 47 printf("Case %d: 0\n", cas); 48 continue; 49 } 50 b /= k; d /= k; 51 if(b > d) swap(b, d); 52 printf("Case %d: %I64d\n", cas, Mobius(b, d)); 53 } 54 }
/////////////////此處施工中//////////////////
暫時棄坑。。。。
http://acm.hust.edu.cn/vjudge/contest/view.action?cid=94200#overview
峰神掛的莫比烏斯反演章節，有興趣自己去做做，不會的去百度。。。。