莫比烏斯反演

（PS：在評論區中眾多dalao的催促下，我認真的寫了三天三夜寫完了這篇杜教篩，保證是精品！）

前言

（這大概是我第一次寫學習筆記吧OvO）
可能每一個剛開始接觸莫比烏斯反演的OIer，起初都會厭惡這個神奇的東西。(我也一樣233)每一個人厭惡的原因有許多，可能是這個煩人的式子，也可能僅僅只是因為不理解\(\mu\)函數而感到不爽。當然，莫比烏斯反演有一個小小的預備知識：整除分塊
那么我們先從莫比烏斯反演中最基礎的莫比烏斯函數\(\mu\)開始說起：

莫比烏斯函數

• 首先，我們可以先明確一點，莫比烏斯函數並不是什么很高大上的東西，它其實只是一個由容斥系數所構成的函數。\(\mu(d)\)的定義是:

1. 當\(d=1\)時，\(\mu(d)=1\)；
2. 當\(d=\Pi_{i=1}^{k}p_i\)且\(p_i\)為互異素數時，\(\mu(d)=(-1)^k\)。(說直白點，就是\(d\)分解質因數后，沒有冪次大於平方的質因子，此時函數值根據分解的個數決定)；
3. 只要當\(d\)含有任何質因子的冪次大於等於2，則函數值為0.

• 當然，莫比烏斯函數也有很多有趣的性質：

1. 對於任意正整數\(n\)，\(\sum_{d|n}\mu(d)=[n=1]\)。（\([n=1]\)表示只有當\(n=1\)成立時，返回值為\(1\)；否則，值為\(0\)；(這個就是用\(\mu\)是容斥系數的性質可以證明)(PS:這一條性質是莫比烏斯反演中最常用的)
2. 對於任意正整數\(n\)，\(\sum_{d|n}\frac{\mu(d)}{d}=\frac{\phi(n)}{n}\)。（這個性質很奇妙，它把歐拉函數和莫比烏斯函數結合起來，或許我之后寫杜教篩的學習筆記時會去證明吧）

• 程序實現並不難，我們可以在線性篩素數的程序上略作修改，便可以篩出\(\mu\)函數。
• 那我還是給一段線篩的代碼吧

void get_mu(int n)
{
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!vis[i]){prim[++cnt]=i;mu[i]=-1;}
        for(int j=1;j<=cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            vis[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)break;
            else mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

• 那么，莫比烏斯函數就這么告一段落了。

莫比烏斯反演

• 解決完莫比烏斯函數的問題后，我們便迎來了重頭戲莫比烏斯反演
• 定理：F(n)和f(n)是定義在非負整數集合上的兩個函數，並且滿足條件：

\[F(n)=\sum_{d|n}f(d) \]

那么存在一個結論：

\[f(n)=\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor) \]

這個定理就稱作莫比烏斯反演定理。

• 莫比烏斯反演的證明主要有兩種方式，其中一種就是通過定義來證明；另外一種，我則是會在杜教篩中提到(利用狄利克雷卷積)。那么我先來說一說第一種證明方法：

\[\sum_{d|n}\mu(d)F(\lfloor\frac{n}{d}\rfloor)=\sum_{d|n}\mu(d)\sum_{i|\lfloor\frac{n}{d}\rfloor}f(i) \]

\[=\sum_{i|n}f(i)\sum_{d|\lfloor\frac{n}{i}\rfloor}\mu(d)=f(n) \]

(PS:如果不知道最后一步怎么來的，可以再去看性質一，至於和式的變換，就自己腦補一下吧)

• 當然，莫比烏斯反演有另外的一種形式，當\(F(n)\)和\(f(n)\)滿足：

\[F(n)=\sum_{n|d}f(d) \]

可以推出：

\[f(n)=\sum_{n|d}\mu(\frac{d}{n})F(d) \]

• 感覺這個式子，可能在莫比烏斯反演中更加好用。

那么，莫比烏斯反演的基本內容就說完了。知道了這些內容，就已經可以解決一些有關的問題了。我做了一些關於莫比烏斯反演的題，具體題解可以看看我博客中的內容。

題目

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(未完，待更新)