莫比烏斯反演

初學莫比烏斯反演
先膜一發高神：orz Gay神

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莫比烏斯反演
有兩種形式。。。

第一種：

如果我們有函數\(f(x)\)，以及\(g(x)\)，並且有：

\[g(x)=\sum_{d|x}f(d) \]

那么，我們就有：

\[f(x)=\sum_{d|x}\mu(\frac{x}{d})g(d) \]

具體的證明嗷。。。
參考《具體數學》第4章（貌似是公式\(4.56\)）

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第二種：

如果我們有函數\(f(x)\)，以及\(g(x)\)，並且有：

\[g(x)=\sum_{x|d}^{n}f(d) \]

其中n是我們限定的一個范圍
那么，我們可以得到：

\[f(x)=\sum_{x|d}^{n}\mu(\frac{d}{x})g(d) \]

證明和上面那個其實是類似的

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至於\(\mu\)函數，叫做莫比烏斯函數
他本身的定義是：

\[\sum_{d|x}\mu(d)=[x==1] \]

說成人話就是：
\(\mu(1)=1\)，而往后面的所有\(\mu(x)\) \((x>1)\)
都有

\[\mu(x)=-\sum_{d|x且d≠x}\mu(d) \]

還是看不懂吧。。（我也不懂。。）
還是寫個簡單點的形式。。。

這種是一種討論的形式
①\(x=p_1p_2p_3...p_n\) 此時\(\mu(x)=(-1)^n\)
②\(x=p^2·d\) 此時\(\mu(x)=0\)
③\(x=1\) \(\mu(x)=1\)

剩下的，就是怎么運用的問題啦。。。