淺談莫比烏斯反演

莫比烏斯反演

前言

很早之前就想講一講莫比烏斯反演，但由於事務較為繁忙，一直耽誤至今。一方面，莫比烏斯反演是數論中非常重要的一個變換，另一方面，我的博客名也受此啟發而得（雖然莫比烏斯反演和莫比烏斯環沒有半毛錢關系）。

廢話不多說，下面我們進入正題。

莫比烏斯函數

要想學習莫比烏斯反演，首先必須了解的就是莫比烏斯函數 \(\mu(d)\) 。

什么是莫比烏斯函數呢？下面是它的定義：
1、 \(\mu(1)=1\)；
2、 當 \(d\) 為素數時， \(\mu(d)=-1\)；
3、 當 \(d\) 為合數時，由數論知識可得其必能唯一地表示成若干素數之積，不妨令

\[d=\prod\limits_{i=1}^{k}{p_{i}^{m_i}} (m_i\geq 1) \]

若 \(d\) 中 \(k\) 個不同的質因子中有任一項的系數 \(m_i\) 大於等於2，則 \(\mu(d)=0\) ,否則 \(\mu(d)=(-1)^k\) 。

用程序實現 \(\mu\) 的賦值並不難，只要在線性篩素數的基礎上略加修改即可，我就貼一段代碼吧。

void get_mu(int n)
{
    int cnt=0;
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++)
    {
        if(!com[i])
        {
            prim[cnt++]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=0;j<cnt&&prim[j]*i<=n;j++)
        {
            com[prim[j]*i]=1;
            if(i%prim[j]==0)
                break;
            else 
                mu[i*prim[j]]=-mu[i];
        }
    }
 }

由此，我們初步了解了莫比烏斯函數 \(\mu(d)\) 的定義。當然，它有一些非常有趣的性質：

1. 對於任意正整數 \(n\) ，\(\sum\limits_{d|n}{\mu(d)}=[n=1]\) （ \(d|n\) 的意思是 \(d\) 整除 \(n\) ， \([n=1]\) 表示只有當 \(n=1\) 時為 \(true(1)\) ，否則為 \(false(0)\) ）。
2. 對於任意正整數 \(n\) ，\(\sum\limits_{d|n}{\frac{\mu(d)}{d}}=\frac{\phi(n)}{n}\) ( \(\phi(n)\) 為歐拉函數）。

其中第一條性質尤為重要，具體該怎么證明呢？

首先當 \(n=1\) 時，其約數 \(d\) 只有 \(1\) ，所以 \(\sum\limits_{d|1}{\mu(d)}=\mu(1)=1\)。

當 \(n\geq 2\) 時，由離散數學的知識，\(n\) 必能表示成若干素數的乘積且唯一（這個用反證法即可證明），即

\[n=\prod\limits_{i=1}^{k}{p_{i}^{m_i}} (m_i\geq 1) \]

下面如何求 \(\sum\limits_{d|n}{\mu(d)}\) 呢？我們需要枚舉 \(n\) 的約數 \(d\) 。顯然， \(d\) 同樣可以表示為若干質數的乘積（質數的冪可以為0）。對於分解成質數之積后存在一個質數的冪次大於1的 \(d\) 我們並不需要關注，因為這樣的 \(d\) 的 \(\mu(d)=0\) 。我們只需要關注分解后所有的質數的冪次都小於等於1的 \(d\)。

這樣的 \(d\) 到底有多少個呢？根據簡單的排列組合知識可知共有 \(2^k\) 個（\(k\) 為 \(n\) 分解后不同質數的個數）。我們要將這 \(2^k\) 個進行分類。

其中分解后質數的個數為偶數（包括0）的共有\(\sum\limits_{i=0}^{\lfloor\frac{k}{2}\rfloor}{C_k ^{2i}}\) 個，奇數的共有\(\sum\limits_{i=1}^{\lceil\frac{k}{2}\rceil}{C_k ^{2i-1}}\) 個。

組合數中有一條重要的性質，就是奇數項之和等於偶數項之和，也就是說上面兩個式子是相等的。也就是說 \(n\) 的約數 \(d\) 分解成若干冪次為1的質數之積后，質數個數為奇數的 \(d\) 與質數個數為偶數的 \(d\) 的個數相等。

再回到莫比烏斯函數本身，滿足 \(\mu(d)=1\) 和 \(\mu(d)=-1\) 的 \(d\) 的個數相同，所以 \(\sum\limits_{d|n}{\mu(d)}=0\; (n\geq 2)\) 。

由此，第一條性質證明結束。

第二條性質證明比較難，涉及到歐拉函數的知識，這篇文章就不重點介紹了。

莫比烏斯反演

經過長篇幅的介紹莫比烏斯函數后，我們現在終於可以迎來本文的核心：莫比烏斯反演。

下面是莫比烏斯反演定理：

對於定義在非負整數集合上的兩個函數 \(F(n)\) 和 \(f(n)\) ，並且滿足條件：

\[F(n)=\sum\limits_{d|n}{f(d)} \]

則有結論

\[f(n)=\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) \]

有定理就有證明，下面我就簡單地證明一下：

\[\sum\limits_{d|n}\mu(d)F(\frac{n}{d}) =\sum\limits_{d|n}(\mu(d)\sum\limits_{i|\frac{n}{d}}{f(i)})\]

\[=\sum\limits_{i|n}({f(i)}\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}{\mu(d)})=f(n) \]

倒數第二步的推導需要反過來思考（枚舉約數 \(i\) )，至於最后一步就用到了之前的第一條性質，只有當 \(\frac{n}{i}=1\) 即 \(i=n\) 時 \(\sum\limits_{d|\frac{n}{i}}{\mu(d)}=1\) ，其余情況皆為 \(0\) ，所以最后推得結果為 \(f(n)\) 。

至此，莫比烏斯反演的介紹也差不多結束了。碼字不易，感謝關注。