【讀書筆記】莫比烏斯函數與莫比烏斯反演

一、莫比烏斯(Möbius)函數

　　對於每個正整數n(n ≥ 2)，設它的質因數分解式為：

　　

　　根據這個式子定義n的莫比烏斯函數為：

　　

　　也就是如果n有平方因子，則為0. 否則是-1的質因數個數次方。

　　舉個簡單的例子：6 = 2 × 3，所以；  9 = 3×3， 所以

 

　　【命題一】

　　對於正整數n有：

　　

　　也就是n>2時，所有n的約數對應函數值之和為0.

　　

　　證明：

　　n=1的時候是顯然的。

　　n≥2時：

　　① 如果d中也含有平方因子，則其值為零。

　　② 設 ， 若d中不含平方因子，則必有.

　　所以有：

　　得證。

 

二、歐拉函數

　　歐拉函數φ(n)定義為，1~n中與n的最大公約數為1的數字的個數。例如 φ(5) = 4, φ(6) = 2

　　若p為質數，顯然 φ(p) = p-1

　　若n=p^k， 則n的大於1的約數有p, 2p, 3p,...(p^k-1-2)p, (p^k-1-1)p共p^k-1個數。所以φ(n) = p^k-p^k-1

　　而且歐拉函數為積性函數(證明較為麻煩，略去)，即若m、n互質，有φ(m)φ(n) = φ(mn)

　　所以對於任意

　　

　　或者寫成這種形式：

　　

　　

　　莫比烏斯函數和歐拉函數的關系：

　　

　　這個不是太難證明，自己在紙上演算一下就明白了。

 

三、莫比烏斯反演

　　若定義在正整數集上的兩個函數，f(n)和g(n)滿足對任意n有：

　　　　　　　　(1)

　　

　　則可以通過f來表示g：

　　　　　　(2)

　　反之，亦可以由關系(2)得到(1)

　　

　　證明：

　　由式(1)有：

　　

　　於是：

　　

　　對於確定的d'，d將取遍所有的因子，所以我們可以改變求和順序：

　　

　　由上面的推導可知：只有當即n = d'時，等式右邊才不為0。所以右邊和式只剩下g(n)一項了。

　　

　　簡單運用：

　　上面說到莫比烏斯函數和歐拉函數的關系，

　　變形為：

　　視f(n) = n,  g(n) = φ(n), 上式相當於反演公式中的(2)式

　　根據反演公式，可得到(1)式：