莫比烏斯反演
（難得百度爬蟲對我這篇垃圾的待重寫博客這么友好，趕快重寫了）
（還沒寫完呢，只是重寫了之前的內容，還有新增。 2020.05.11）
前置芝士
極高的數學造詣與不怕勞累的精神
正文
莫比烏斯反演是數論數學中很重要的內容，可以用於解決很多組合數學的問題。——「百度百科」
考慮這樣兩個函數 \(F(n),f(n)\)，它們的關系是 \(F(n)=\sum_{d|n}f(d)\)。
我們可以手模出一些函數值如：
\(F(1)=f(1)\)
\(F(2)=f(1)+f(2)\)
\(F(3)=f(1)+f(3)\)
\(F(6)=f(1)+f(2)+f(3)+f(6)\)
我們嘗試用 \(F(n)\) 來表示 \(f(n)\)。
\(f(1)=F(1)\)
\(f(2)=F(2)−F(1)\)
\(f(3)=F(3)-F(1)\)
\(f(6)=F(6)−F(3)−F(2)+F(1)\)
我們發現存在一個這樣的關系式：\(f(n)=\sum_{d|n}F(d)\cdot \alpha(d)\),其中 \(\alpha(d)\) 是一個與 \(d\) 有關的函數。
-
莫比烏斯函數
定義 \(\mu(n)\) 為 \(n\) 的莫比烏斯函數。則有
\[\mu(n)= \begin{cases} 1 & n=1\\ (-1)^k & n=p_1p_2p_3...p_k,p_i \text{ 為 } n \text{ 的質因子且兩兩互素} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} \]性質一：莫比烏斯函數是積性函數，即對於 \(gcd(a,b)=1\)，有 \(\mu(ab)=\mu(a)\mu(b)\)。
這個感覺挺顯然的啊。
根據這個性質我們可以用用線性篩在 \(O(n)\) 的時間內篩出 \(1 \sim n\) 內所有莫比烏斯函數的值。
性質二：對於任意正整數 \(n\)，有
\[\sum_{d|n}\mu(d)= \begin{cases} 1 &n=1\\ 0 &n>1 \end{cases} \]證明：一個數 \(n\) 的莫比烏斯函數值不為 \(0\) 當且僅當 \(n\) 其質因數分解后所有質因子次數均為 \(1\)。設 \(n\)以內共有質數 \(k\) 個，則含 \(r\) 個質因子的數有 \(\binom k r\) 個。
於是有 \(\sum_{d|n}\mu(d)=\binom k 0-\binom k 1+\binom k 2+...+(-1)^k\binom k k=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i\)
利用二項式定理可得 \(\sum_{i=0}^{k}(-1)^i\binom k i=\sum_{i=0}^{k}\binom k i(-1)^i1^i=(-1+1)^k=0\)，證畢。
猜想莫比烏斯函數與 \(\alpha(d)\) 的關系。
發現在 \(f(3)\) 與 \(f(6)\) 的表達式當中 \(F(1)\) 的系數不相同，於是我們猜想 \(\alpha(d)=\mu(\frac n d)\)。
即
考慮證明。
注意到 \(\frac n d \cdot d\) 為定值，所以原式可變形為
我們將 \(F(\frac n d)\) 進行套娃代換，有
根據實際意義我們可以發現 \(d|n\) 且 \(i|\frac n d\) 與 \(d\cdot i|n\) 等價，即我們只需要保證 \((\mu(d),F(i))\) 都被統計到答案里面。於是我們將原式進行變形有
交換內外層和式，有
根據整除的實際意義繼續變換，有
根據上文提及的性質二，有
於是有
得證。
這就是莫比烏斯反演。
莫比烏斯反演的另一種基本形式
可以用類似的方法證明得到。
這只是一種證明方式，還可以用狄利克雷卷積證明，下次繼續寫。
未完待續。