BZOJ 2820: YY的GCD [莫比烏斯反演]【學習筆記】

神犇YY虐完數論后給傻×kAc出了一題給定N, M,求1<=x<=N, 1<=y<=M且gcd(x, y)為質數的(x, y)有多少對kAc這種

傻×必然不會了，於是向你來請教……多組輸入

第一行一個整數T 表述數據組數接下來T行，每行兩個正整數，表示N, M

T行，每行一個整數表示第i組數據的結果

2
10 10
100 100

30
2791

T = 10000

N, M <= 10000000

和bzoj2705很像http://www.cnblogs.com/candy99/p/6200745.html

但是n和m不同，不能使用直接歐拉函數的方法

參考：http://blog.csdn.net/acdreamers/article/details/8542292 && popoqqq課件

和上一題相同的函數：

為滿足且和的的對數

顯然，反演后得到

可以枚舉每一個質數，套用上一題的做法，p相當於k，d*p也就是p的倍數了...很像上一題我WT1中的式子

其實d只要枚舉到min(n,m)/p

然而復雜度承受不了，大約n/logn*sqrt(n)

我們設，那么繼續得到

為什么這么做呢？因為這樣之后發現F函數與p和d無關了，(要不然枚舉p和d也是枚舉了T)

可以提到前面，剩下的那一塊可以處理前綴和做到O(1)，前面再用除法分塊，做到O(sqrt(n))

WT:

如何求g(T)=Σ{p|T && isprime(p)}miu(T/p)

法1.

只需要枚舉每個素數，將他的倍數的g更新就可以了

由於有1/1+1/2+1/3+...+1/n=O(logn)這個結論因此每個質數枚舉時是均攤O(logn)的(*n后好想，是nlogn，但是質數只有n/logn個)

而質數恰好有O(n/logn)個因此暴力枚舉就是O(n)的

法2.

線性篩

g[i*p[j]]

當p[j]|i時結果顯然為miu(i)

否則考慮mu(i*p[j]/pp),當p[j]=pp時為mu[i]，p[j]!=pp時的所有的和就是-g(i)，所以總的結果為mu(i)-g(i)

枚舉質數 4176ms

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m;
bool notp[N];
int p[N],mu[N],g[N];
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<N;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0;
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
        }
    }
    
    for(int j=1;j<=p[0];j++)
        for(int i=p[j];i<N;i+=p[j])
            g[i]+=mu[i/p[j]];
    for(int i=1;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
}
ll cal(int n,int m){
    if(n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;int r;
    for(int i=1;i<=n;i=r+1){
        r=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(g[r]-g[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    sieve();
    int T=read();
    while(T--){
        n=read();m=read();
        printf("%lld\n",cal(n,m));
    }
    return 0;
}

線性篩：3328ms

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e7+5;
inline int read(){
    char c=getchar();int x=0,f=1;
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')f=-1; c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=x*10+c-'0'; c=getchar();}
    return x*f;
}
int n,m;
bool notp[N];
int p[N],mu[N],g[N];
void sieve(){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<N;i++){
        if(!notp[i]) p[++p[0]]=i,mu[i]=-1,g[i]=1;
        for(int j=1;j<=p[0]&&i*p[j]<N;j++){
            notp[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0){
                mu[i*p[j]]=0;
                g[i*p[j]]=mu[i];
                break;
            }
            mu[i*p[j]]=-mu[i];
            g[i*p[j]]=mu[i]-g[i];
        }
    }
    for(int i=1;i<N;i++) g[i]+=g[i-1];
}
ll cal(int n,int m){
    if(n>m) swap(n,m);
    ll ans=0;int r;
    for(int i=1;i<=n;i=r+1){
        r=min(n/(n/i),m/(m/i));
        ans+=(ll)(g[r]-g[i-1])*(n/i)*(m/i);
    }
    return ans;
}
int main(int argc, const char * argv[]) {
    sieve();
    int T=read();
    while(T--){
        n=read();m=read();
        printf("%lld\n",cal(n,m));
    }
    return 0;
}

BZOJ 2820: YY的GCD [莫比烏斯反演]【學習筆記】

2820: YY的GCD

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