我也不知道什么是"莫比烏斯反演"和"杜教篩"

upd：正在寫一篇復習向的文章，之后貼鏈接，可以作為這篇文章的一個補充。
upd：寫好啦，戳這里。新寫的這篇復習向文章QwQ，可以當做一個補充來看吧。不過新寫的文章也有我新的理解吧。

Part0

最近一直在搞這些東西
做了將近20道題目吧
也算是有感而發
寫點東西記錄一下自己的感受

如果您真的想學會莫比烏斯反演和杜教篩，請拿出紙筆，每個式子都自己好好的推一遍，理解清楚每一步是怎么來的，並且自己好好思考。

Part1莫比烏斯反演

莫比烏斯反演啥都沒有，就只有兩個式子（一般只用一個）
原來我已經寫過一次了，再在這里寫一次
就只寫常用的那個吧

基本的公式

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對於一個函數\(f(x)\)
設\(g(x)=\sum_{x|d}f(d)\)
那么

\[f(x)=\sum_{x|d}\mu(\frac{d}{x})g(d) \]

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這個有什么用？
似乎太有用了一點

隨手搞道題目來說吧

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求$$\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=1]$$

這個東西很直接，
所以我們設$$f(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=x]$$

\[g(x)=\sum_{x|d}f(d) \]

根據莫比烏斯反演可以得到

\[f(1)=\sum_{1|d}\mu(\frac{d}{1})g(d)=\sum_{i=1}^n\mu(i)g(i) \]

\(g(x)\)是什么東西？

\[g(x)=\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[x|gcd(i,j)] \]

直接把\(x\)除到上面去

\[g(x)=\sum_{i=1}^{n/x}\sum_{j=1}^{m/x}[1|gcd(i,j)] \]

\([1|gcd]\)顯然成立的
所以\(g(x)=[\frac{n}{x}][\frac{m}{x}]\)
可以\(O(1)\)計算
所以，\(f(1)\)可以\(O(n)\)計算

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一起推下式子

莫比烏斯反演的套路太多了

我們再來看兩道題目
Crash的數字表格
jzptab

這兩題按照順序看嗷

具體的過程直接看我博客里面寫的東西

我們發現這兩道題一模一樣
但是下面的那道題目可以做到單次詢問\(O(\sqrt n)\)

他多干了什么？？？
這個問題，我們自己再來重新推一下
不過找個容易點的東西

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\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j) \]

這個肯定沒有前面我給的例子的莫比烏斯反演那么直接
但是我們觀察一下，\(gcd\)的取值有哪些？？
\(1～n\)(假設\(n<m\))
那么，我們可以把\(gcd\)相同的項合並

所以，我們枚舉\(gcd\)的值

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^m[gcd(i,j)=d] \]

后面的那一部分是不是想到了前面推出的東西？？？
所以先把\(d\)直接除上去

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)=1] \]

\(n/d\)和\(m/d\)不要想太多，你就當成\(x\)和\(y\)

\[\sum_{i=1}^{x}\sum_{j=1}^{y}[gcd(i,j)=1] \]

不就是上面推過的第一個例子？？

\[=\sum_{i=1}^x\mu(i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}] \]

把這一截放回我們要求的式子里面去

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{x}\mu(i)[\frac{x}{i}][\frac{y}{i}] \]

把\(x,y\)還是寫成原樣吧

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{id}][\frac{m}{id}] \]

是不是\(n/d\)可以數論分塊
而在計算后面的東西的時候，\(\frac{n/d}{i}\)也可以數論分塊？？
所以這個時候的復雜度是\(O(n)\)
與之相對應的就是上面Crash的數字表格的\(O(n)\)做法

可是，像下面那個\(O(\sqrt n)\)是怎么做的呢？

那我們就繼續推一步
我們是不是可以直接對\(\frac{n}{id}\)分塊呢？
所以，我們設\(T=id\)把\(id\)換一下

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\mu(i)[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}] \]

這個時候，比較關鍵的一步
把\(T\)提出來

\[\sum_{T=1}^n[\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d}) \]

為什么是這個？？
我們來分析一波
首先每一個\(T\)一定對應\([\frac{n}{T}][\frac{m}{T}]\)
這一項之和\(T\)有關，所以可以提出來

這個時候考慮對於每一個\(T\)，什么樣的\(i\)和\(d\)會給他產生貢獻呢？
最顯然的一點，\(d\)是\(T\)的一個因數
看到上面的式子，我們不難發現會貢獻一個\(d\)的什么東西
后面的是什么？\(\mu(i)\)
繼續想想，既然\(T=id\)，我們枚舉了一個\(T\)，
又知道\(d\)是\(T\)的一個因子了，所以\(i=\frac{T}{d}\)
所以，就有了上面把\(T\)拿出來的式子

前面的東西看起來可以數論分塊
但是這樣子后面的東西怎么辦？
不可能\(O(\sqrt n)\)暴力枚舉呀

沒錯，當然不需要暴力枚舉
我們發現后面的東西也是一個積性函數（因為他是兩個積性函數的狄利克雷卷積）
所以它是可以線性的篩出來的
到這里，前面對於\(T\)數論分塊
后面的前綴和可以\(O(n)\)線性篩預處理出來
此時單次詢問整體的復雜度就是\(O(\sqrt n)\)

對了，不要思想江化
后面那個東西如果不能夠直接線性篩
那就不要線性篩了，
只要復雜度允許，暴力篩也是很可以的

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其實，如果我們繼續觀察，很容易知道一點：
\(\sum_{d|T}d\mu(\frac{T}{d})=\varphi(T)\)

upd:原來底下的證明是假的，已經刪掉了，這里用容斥的方法很容易證明，考慮到\(\mu\)是容斥系數就可以很容易的知道上述式子的組合意義。

我們知道\((1*\varphi)(i)=i\)
還知道\((1*\mu)(i)=e\)
其中\(1\)是\(f(x)=1\)
\(e\)是\(f(x)=[x=1]\)
\(id\)是\(f(x)=x\)

所以這個東西當然可以線性篩啦。

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莫比烏斯反演差不多就到這里啦
我們經歷的復雜度從\(O(n^2)\)的暴力
推一步之后變成了\(O(n)\)
再變成了\(O(\sqrt n)\)

莫比烏斯反演的關鍵步驟也就是兩步
首先是化簡式子，寫成莫比烏斯反演的形式
然后就是怎么處理前綴和，數論分塊等東西的問題

這些能夠解決好，莫比烏斯反演的題目就很好解決啦

Part2線性篩

當然是怎么各種線性篩東西啦

線性篩最重要的一點：
每個數一定，也只會，被他的最小質因子給篩到
說白點，比如說\(72=2*2*2*3*3\)
他就會被他的最小質因子給篩到
也就是\(2*36\)時被篩到

所以，一般線性篩如果要存儲其他的東西來篩的話
一定是記錄最小質因子的東西

大概的寫一下幾個積性函數：

\(\mu\)莫比烏斯函數

這個怎么篩應該都會吧

\(\varphi\)歐拉函數

怎么篩應該也很明顯吧。

\(d\)約數個數

這個怎么篩？
考慮唯一分解定理:
\(x=\prod p_i^{ai}\)
那么\(d(x)=\prod (ai+1)\)
記錄一下最小質因子的個數
每次就先把原來的除掉，再把\(+1\)后的個數乘上就好啦

\(\sigma\)約數和

還是唯一分解定理
\(x=\prod p_i^{ai}\)
\(\sigma(x)=\prod (\sum_{j=0}^{ai}p_i^j)\)
記錄一下最小質因子的上面那個式子的和
以及這個因子的\(ai\)次冪
每次也是先除掉再乘上新的

\(a^k\) \(k\)次冪

把這個東西寫進來，只是為了提醒一下
\(a^k\)這種東西是一個完全積性函數，也是可以丟進去篩的

\(inv\)乘法逆元

沒啥，一樣的，乘法逆元也是完全積性函數
蛤，我知道可以\(O(n)\)遞推
只是寫一下而已

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我比較懶，不想把板子蒯過來
直接把ppl的鏈接給你們嗷（雖然他的代碼風格我覺得很丑）

Part3杜教篩

來個栗子

線性篩\(O(n)\)復雜度，美滋滋
好的，我知道了
來一個很\(interesting\)的題目？？？

\[求\sum_{i=1}^n\mu(i)的值 \]

我當然知道你會線性篩
所以\(n<=10^9\)

杜教篩是蛤？

比如說。。
我們現在要求一個積性函數\(f(i)\)的前綴和\(S(i)\)
也就是說\(S(n)=\sum_{i=1}^nf(i)\)

現在很不好算呀
怎么辦？？

這個時候，就來杜教篩套路一波

我再來找個積性函數\(g(i)\)（不知道是啥）
讓\(g\)和\(f\)做一個卷積

\[(g*f)(i)=\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \]

再求一下卷積的前綴和

\[\sum_{i=1}^n(g*f)(i)=\sum_{i=1}^n\sum_{d|i}g(d)f(\frac{i}{d}) \]

把\(d\)給提出來

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{d|i}f(\frac{i}{d}) \]

\[\sum_{d=1}^ng(d)\sum_{i=1}^{n/d}f(i) \]

\[\sum_{d=1}^ng(d)S(\frac{n}{d}) \]

如果仔細想想
我們就會有這個式子：

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^ng(i)S(\frac{n}{i})-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) \]

前面的東西是狄利克雷卷積

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*f)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) \]

如果狄利克雷卷積的前綴和非常好算的話
那么我們就可以對后面的東西進行數論分塊
然后遞歸計算。
提醒一句：
一定要記憶化，一定要記憶化，一定要記憶化

回到栗子

\(\sum_{i=1}^n\mu(i)\)
把杜教篩的公式套路式子找過來蛤

\[g(1)S(n)=\sum_{i=1}^n(g*\mu)(i)-\sum_{i=2}^ng(i)S(\frac{n}{i}) \]

看到了\(\mu\)想一個積性函數，讓他們的狄利克雷卷積前綴和很好算
我們知道

\[\sum_{d|i}\mu(d)=[i=1]=e \]

也就是說

\[(1*\mu)=e \]

\(e\)的前綴和是啥？
當然是\(1\)了
所以，取\(g(x)=1\)

\[S(n)=1-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i}) \]

這樣子的話，首先線性篩出一部分的\(\mu\)的前綴和
然后來一波記憶化搜索美滋滋

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再來個栗子把
把上面的\(\mu\)換成\(\varphi\)
我們還是知道

\[\sum_{d|i}\varphi(d)=i=id(i) \]

所以，如果是\(\varphi\)的話
就令\(g(x)=1\)
所以，

\[S(n)=\frac{n*(n+1)}{2}-\sum_{i=2}^nS(\frac{n}{i}) \]

多好的套路

但是，不要被套路給套死啦
面對不同的函數
一定要考慮清楚\(g\)是啥
好的\(g\)能讓你的程序更加好算

Part4我也不知道為什么要加上這一部分

好啦
上面好好地寫了一下莫比烏斯反演和杜教篩
是不是覺得很簡單

當然，莫比烏斯反演和杜教篩當然可以混在一起

莫比烏斯反演推柿子
杜教篩求前綴和
一點也不矛盾

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既然我也不知道最后這部分干啥
那就找一堆題目來吧
歡迎查我水表
算了
還是把水表給你們把
莫比烏斯反演的水表
杜教篩的水表

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最后，說幾句話
不要因為有了杜教篩和線性篩
就天天想着怎么篩
篩不了就滾去寫暴力
埃氏篩法很不錯
暴力枚舉因數也很不錯

最后，一句最經典的話作為結尾

騙分過樣例，暴力出奇跡