【CJOJ2512】gcd之和（莫比烏斯反演）

題面

給定\(n,m(n,m<=10^7)\)
求

\[\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^mgcd(i,j) \]

題解

首先把公因數直接提出來

\[\sum_{d=1}^nd\sum_{i=1}^{n/d}\sum_{j=1}^{m/d}[gcd(i,j)==1] \]

很明顯
設

\[f(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[gcd(i,j)==x] \]

\[g(x)=\sum_{x|d}f(d) \]

\[g(x)=\sum_{i=1}^{a}\sum_{j=1}^{b}[x|gcd(i,j)] \]

\[g(x)=\sum_{i=1}^{a/x}\sum_{j=1}^{b/x}[1|gcd(i,j)] \]

\[g(x)=[\frac{a}{x}]·[\frac{b}{x}] \]

很明顯，可以對\(f(x)\)進行莫比烏斯反演，

\[f(x)=\sum_{i=1}^x\mu(i)g(i) \]

可以數論分塊算

所求的式子

\[ans=\sum_{d=1}^{n}df(1) \]

其中，對於每一次計算的\(a,b\)
\(a=[\frac{n}{d}],b=[\frac{m}{d}]\)
這個也很顯然可以數論分塊

最后，總體復雜度\(O(n)\)

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>
#include<set>
#include<map>
#include<vector>
#include<queue>
using namespace std;
#define MOD 998244353
#define MAX 10000000
inline int read()
{
	int x=0,t=1;char ch=getchar();
	while((ch<'0'||ch>'9')&&ch!='-')ch=getchar();
	if(ch=='-')t=-1,ch=getchar();
	while(ch<='9'&&ch>='0')x=x*10+ch-48,ch=getchar();
	return x*t;
}
int n,m;
bool zs[MAX+1000];
int pri[MAX+1000],tot,mu[MAX+1000],smu[MAX+1000];
long long ans;
void pre()
{
	zs[1]=true;mu[1]=1;
	for(int i=2;i<=MAX;++i)
	{
		if(!zs[i])pri[++tot]=i,mu[i]=-1;
		for(int j=1;j<=tot&&i*pri[j]<=MAX;++j)
		{
			zs[i*pri[j]]=true;
			if(i%pri[j]==0){mu[i*pri[j]]=0;break;}
			else mu[i*pri[j]]=-mu[i];
		}
	}
	for(int i=1;i<=MAX;++i)smu[i]=(smu[i-1]+mu[i])%MOD;
}
int Solve(int a,int b)
{
	int i=1,j;
	long long ret=0;
	while(i<=a)
	{
		j=min(a/(a/i),b/(b/i));
		ret+=1ll*(smu[j]-smu[i-1]+MOD)%MOD*(a/i)%MOD*(b/i)%MOD;
		ret%=MOD;
		i=j+1;
	}
	return (ret+MOD)%MOD;
}
int main()
{
	n=read();m=read();
	if(n>m)swap(n,m);
	int i=1,j;
	pre();
	while(i<=n)
	{
		j=min(n/(n/i),m/(m/i));
		int tt=1ll*(i+j)*(j-i+1)/2%MOD;
		ans+=1ll*tt*Solve(n/i,m/i);
		ans%=MOD;
		i=j+1;
	}
	printf("%lld\n",(ans+MOD)%MOD);
	return 0;
}