描述：
如果整數p符合(p - 1)! ≡ -1 ( mod p )，則p是素數。但是由於階乘增長非常快的，其結論對於實際操作意義不大。
通俗點，當且僅當p是素數，則(p-1)! + 1能被p整除。
證明：
充分性證明：
證明其逆反命題即可：如果p是合數，則p不符合(p - 1)! ≡ -1 (mod p)。
當p小於等於4的時候，明顯成立。
當p大於4時，
如果p不是完全平方數，則p可以分解為ab，a, b ∈ {2, 3, ..., p - 1}，且a != b
則(p - 1)!必包含a, b，則(p - 1)! ≡ 0 (mod p)
如果p是完全平方數，則有p = k^2, 已知當k > 2時，有k, 2k ∈ {2, 3, ..., p - 1}，同上可得(p - 1)! ≡ 0 (mod p)
證畢。
必要性證明：
對於偶質數2顯然成立，下面討論奇質數：
對於質數p，集合B = {1, 2, 3, ..., p - 1}中的每個元素都與p互質（即是其縮系）。
對於B的一個子集A = {2, 3, 4, ..., p - 2}，對每個a ∈ A，使C = {a, 2a, ..., (p - 1)a}，則對於任一個a，C也是p的一個縮系（即每個數對p不同余且不能整除）。
關於C是縮系的證明(其實是同余的一個性質）：
如果存在an, am同余，設n > m，則(an - am) ≡ 0 (mod p)，則a(n - m) ≡ 0 (mod p)，由於a(n - m)也屬於C，不存在能整除的。
則對於任意a，在C中，必存在一個對應的ab，使得ab ≡ 1 (mod p)：
證明b不屬於{1, p - 1, a}：
如果b = 1，則a ≡ a (mod p)，由於a 屬於A，不成立。
如果b = p - 1，則(p - 1)a ≡ (p - a)(mod p)，當且僅當a = p - 1時成立，但a屬於A，不成立。
如果b = a，若a*a ≡ 1 (mod p)，則a*a - 1 ≡ 0 (mod p)，即(a + 1)(a - 1) ≡ 0 (mod p)，當且僅當a = 1或p - 1時成立，不成立。
證明如果a不相同，則b也不相同：
如果對於a，存在b1, b2，使得ab1 ≡ ab2 (mod p)，則a(b1 - b2) ≡ 0 (mod p)，a(b1 - b2)屬於C中某項，不存在能整除的。
由上可知，則對於a，存在b ∈ A，a != b，使得ab ≡ 1 (mod p)，則對於2*3*4*...*(p - 2)，由於：
2b ≡ 1 (mod p)，3b' ≡ 1(mod p)，...，則2*3*4*...*(p - 2) ≡ 1 (mod p)，
且1 ≡ 1 (mod p)，(p - 1) ≡ -1 (mod p)，則(p - 1)! ≡ -1 (mod p)，證畢。
簡單來說：
(p - 1)!中，除了1和p - 1，剩下的數兩兩配對，其乘積模p等於1，只有p - 1模p余-1，由同余性質，相乘的(p - 1)! ≡ -1 (mod p)。