由於正態區間對於小樣本並不可靠，因而，1927年，美國數學家 Edwin Bidwell Wilson提出了一個修正公式，被稱為“威爾遜區間”，很好地解決了小樣本的准確性問題。
根據離散型隨機變量的均值和方差定義：
μ=E(X)=0*(1-p)+1*p=p
σ=D(X)=(0-E(X))2(1-p)+(1-E(X))2p=p2(1-p)+(1-p)2p=p2-p3+p3-2p2+p=p-p2=p(1-p)
因此上面的威爾遜區間公式可以簡寫成：
代碼：
def wilson_score(pos, total, p_z=2.):
"""
威爾遜得分計算函數
參考：https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_proportion_confidence_interval
:param pos: 正例數
:param total: 總數
:param p_z: 正太分布的分位數
:return: 威爾遜得分
"""
pos_rat = pos * 1. / total * 1. # 正例比率
score = (pos_rat + (np.square(p_z) / (2. * total))
- ((p_z / (2. * total)) * np.sqrt(4. * total * (1. - pos_rat) * pos_rat + np.square(p_z)))) / \
(1. + np.square(p_z) / total)
return score
SQL實現代碼：
#wilson_score
SELECT widget_id, ((positive + 1.9208) / (positive + negative) -
1.96 * SQRT((positive * negative) / (positive + negative) + 0.9604) /
(positive + negative)) / (1 + 3.8416 / (positive + negative))
AS ci_lower_bound FROM widgets WHERE positive + negative > 0
ORDER BY ci_lower_bound DESC;
#
SELECT widget_id, (positive - negative)
AS net_positive_ratings FROM widgets ORDER BY net_positive_ratings DESC;
#
SELECT widget_id, positive / (positive + negative)
AS average_rating FROM widgets ORDER BY average_rating DESC;
excel實現代碼：
=IFERROR((([@[Up Votes]] + 1.9208) / ([@[Up Votes]] + [@[Down Votes]]) - 1.96 *
SQRT(([@[Up Votes]] * [@[Down Votes]]) / ([@[Up Votes]] + [@[Down Votes]]) + 0.9604) /
([@[Up Votes]] + [@[Down Votes]])) / (1 + 3.8416 / ([@[Up Votes]] + [@[Down Votes]])),0)
星級評價排名
Reddit的話題排序算法叫做（thehot ranking），實現代碼如下：
log(10, max{abs(up-down), 1}) + sign(up>down) * seconds / 45000
#Rewritten code from /r2/r2/lib/db/_sorts.pyx
from datetime import datetime, timedelta
from math import log
epoch = datetime(1970, 1, 1)
def epoch_seconds(date):
"""Returns the number of seconds from the epoch to date."""
td = date - epoch
return td.days * 86400 + td.seconds + (float(td.microseconds) / 1000000)
def score(ups, downs):
return ups - downs
def hot(ups, downs, date):
"""The hot formula. Should match the equivalent function in postgres."""
s = score(ups, downs)
order = log(max(abs(s), 1), 10)
sign = 1 if s > 0 else -1 if s < 0 else 0
seconds = epoch_seconds(date) - 1134028003
return round(order + sign * seconds / 45000, 7)
imdb top 250用的是貝葉斯統計的算法得出的加權分(Weighted Rank-WR)，公式如下：
weighted rank (WR) = (v ÷ (v+m)) × R + (m ÷ (v+m)) × C
WR=( v / (v+m)) (R-C) +C
- WR， 加權得分（weighted rating）。
- R，該電影的用戶投票的平均得分（Rating）。
- v，該電影的投票人數（votes）。
- m，排名前250名的電影的最低投票數（現在為3000）。
- C， 所有電影的平均得分（現在為6.9）。
參考資料：