費馬小定理

定義

對於質數 \(p\)，當 \(a\) 是一個與 \(p\) 互質的整數時有：

\[a^{p-1}\equiv 1\quad (mod\; p) \]

當然也可以化成：

\[a^p\equiv a\quad (mod\; p) \]

證明

數學歸納法

1. 當 \(a=0\) 時，顯然成立。

2. 當 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 成立時：

   \[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \tag1 \]

   我們發現 \(p|C^{i}_{p}\;(i=1,2,\dots,p-1)\)，證明如下：

   \[C^{i}_{p} =\frac{p!}{(p-i)!\times i!} =\frac{p\times (p-1)\times (p-2) \times\dots\times(p-i+1)}{i\times(i- 1)\times\dots\times1} \]

   我們知道，對於 \(1\) 到 \(i\) 的每一個數，在一個長度為 \(i\) 的連續數列中都能找到其整倍數。

   那么\(i,i-1,\dots ,1\) 在 \(p,p-1,p-2,\dots,p-i+1\) 中就會一一對應一個整倍數，如果有重復，會有兩種情況，1. 兩數互質，那么兩數會分別除掉這個整倍數不同的因數。2.不互質，這時我們可以將此數表示成 \(gcd\times x\) 的形式，兩數的 \(x\) 互質，可以作為情況 \(1\) 考慮，而既然有 \(gcd\) 的幾倍存在，\(gcd\) 這個因子一定出現了多次（次數和 \(gcd\) 的倍數個數一樣），分別除即可。

   然而當 \(i\) 不等於 \(p\) 時，只有 \(1\) 能整除質數 \(p\) ，就是說 \(p\) 這個因子會保留下來，那么 \(C^{i}_{p}\) 就一定是 \(p\) 的倍數。

3. 然后我們根據 \((1)\) 式可以得到：

   \[(a+1)^p=a^p+C^{1}_{p}a^{p-1}+C^{2}_{p}a^{p-2}+\dots+C^{p-1}_{p}a+1 \equiv a^p+1\quad(mod\;p) \]

4. 因為我們已知 \(a^p\equiv a\quad (mod\;p)\) 所以：

   \[(a+1)^p\equiv a^p+1\equiv a+1\quad(mod\;p) \]

歐拉定理證明

還未了解歐拉定理的可以去本人博客查看。

• 其實費馬小定理就是歐拉定理的特殊情況

• 已知歐拉定理 \(a^{\varphi(p)}\equiv 1\quad(mod\;p)\) ，當 \(p\) 是質數時， \(\varphi(p) =p-1\) 。

  證畢。

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• \(\frak by\quad \_thorn\)