費馬小定理的證明

數論：

1.費馬小定理：

mod:a mod p就是a除以p的余數

費馬小定理：a^(p-1)≡1(mod p)

前提：p為質數，且a，p互質

互質：a和p相同的因數為1.

先來看一下≡是什么：

a≡b(mod p) <=> a mod p=b mod p

注釋：<=> 兩邊相等

在證明之前，先給出引理：

(1)如果p,c互質,並且a*c≡b*c(mod p)

證明過程：

∵a*c mod p = b*c mod p

∴(a*c - b*c) mod p = 0

∴(a-b)*c mod p=0;

∴(a-b)*c 是p的倍數

∵p,c互質

∴k*p*c mod p = 0

∴(a-b)=k*p//這里建議你用筆推一下

∴(a-b)%p=0

(2) 若a1,a2,a3,a4,am為mod m的完全剩余系，m,b互質，那么

b*a1,b*a2,b*a3,b*a4......b*am也是mod m的完全剩余系。

完全剩余系：從模n的每個剩余類中各取一個數，得到一個由n個數組成的集合，叫做模n的一個完全剩余系。

證明過程：

利用反證法：

假設存在一個b*ai≡b*aj(mod p),由引理(1)可證ai≡aj(mod p)

所以這個假設不成立。所以引理(2)成立。

 

開始費馬小定理的證明：

0,1,2,3,4...p-1是p的完全剩余系

∵a,p互質

∴a,2*a,3*a,4*a.......(p-1)*a也是mod p的完全剩余系

∴1*2*3.........*(p-1)*a≡a*2*a*3*a......(p-1)*a  (mod p)

∴ (p-1)! ≡ (p-1)!*a^(p-1) (mod p)

兩邊同時約去(p-1)!

a^(p-1)≡1(mod p)