對於一個質數 \(p (p\ge 3)\) 滿足 \(p \equiv 1 \pmod 4\)，可以寫成兩個平方數之和
則：
\[p=4k+1 \]
設 \(x,y\) 是正奇數
\(\because p\) 必定是一個奇數，\(\therefore p=x^2+(2y)^2\)
現在考慮一個新的方程：
\[p=x^2+4yz ~ (z\{z|z=2k+1,k∈N\}) \]
顯然地，有一個簡單解： \((1,k,1)\)
固定 \(p\)，顯然地，方程只有有限個數解
假設：解集的個數是奇數。
解集是一個三元組 \((x,y,z)\)
如果 \((x,y,z)\) 是一個解集，那么 \((x,z,y)\) 也是一個解集，\(\therefore\) 解集成對出現，個數為偶數個
\(\because\) 解集的個數是奇數，\(\therefore\) 必然存在一個解集中 \(y=z\)
如果 \((x,y,y)\) 是一個解，那么
\[p=x^2+4 \cdot y \cdot y=x^2+4y^2\\ p=x^2+(2y)^2 \]
\[\square \]