对于一个质数 \(p (p\ge 3)\) 满足 \(p \equiv 1 \pmod 4\)，可以写成两个平方数之和
则：
\[p=4k+1 \]
设 \(x,y\) 是正奇数
\(\because p\) 必定是一个奇数，\(\therefore p=x^2+(2y)^2\)
现在考虑一个新的方程：
\[p=x^2+4yz ~ (z\{z|z=2k+1,k∈N\}) \]
显然地，有一个简单解： \((1,k,1)\)
固定 \(p\)，显然地，方程只有有限个数解
假设：解集的个数是奇数。
解集是一个三元组 \((x,y,z)\)
如果 \((x,y,z)\) 是一个解集，那么 \((x,z,y)\) 也是一个解集，\(\therefore\) 解集成对出现，个数为偶数个
\(\because\) 解集的个数是奇数，\(\therefore\) 必然存在一个解集中 \(y=z\)
如果 \((x,y,y)\) 是一个解，那么
\[p=x^2+4 \cdot y \cdot y=x^2+4y^2\\ p=x^2+(2y)^2 \]
\[\square \]