這篇博客就是講證費馬的，沒什么意思。
既然是要用群論證明費馬小定理，那么我們先用數論證明一下。
(以下的 p 為一個質數)
首先我們考慮 一個前置定理：
第一個證明
若 $(c,p) =1$ (即 c 與 p 的 gcd 為 1)，且 $ac ≡ bc (mod\ p)$ ， 那么由 $a ≡ b (mod\ p)$
證：
∵$ac≡ bc ( mod\ p )$
∴$(a-b)c≡0 (mod\ p)$
∴(a-b)c 是 p 的整數倍
又∵$(c,p)=1$
∴$a-b≡0 (mod\ p)$，即 $a≡b (mod\ p)$
得證！
第二個證明
然后我們進入正題，假設有正整數 a (a<p) 滿足條件 $(a,p)=1$ ，那么我們將 a 乘上 1~p-1 后可以構成一個 %p 的完全剩余系
證：
假設存在 $xa≡ya(mod\ p)$，且 $x≠y$
∵ a 與 p 互質
∴原式成立當且僅當 $x≡y(mod\ p)$
又∵x,y∈[1,p-1]
∴ $x≡y(mod\ p)$ 當且僅當 $x=y$，與已知條件矛盾
∴得證假設不成立，原命題成立
第三個證明
接下來證明 $a^{p-1}≡1 (mod\ p)$
證：
又∵$1,....,p-1$ 是 %p 的完全剩余系
∴有 $1*2*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*...*(p-1)a (mod\ p)$，即$(p-1)!≡p-1!*a^{p-1} (mod\ p)$
又 ∵ p 是質數，所以 $((p-1)!,p)=1$，即 (p-1)! 與 p 互質
∴ $a^{p-1}≡1(mod\ p)$
得證！
然后我們就進入第二個階段，用群論證明費馬小定理吧。
首先如果你會證拉格朗日定理那么這里就沒什么難度了。
那么我們先假設拉格朗日定理成立，后面再來證明它。
哦對了，拉格朗日定理是什么都還沒講呢：
Lagrange定理
設 H<=G ，如果|G|=N, |H|=n, 且有 [G:H]=j ，那么 N=nj 。
其中 [G:H]=j 表示子群 H 在 G 中的左（右）陪集個數（當然有可能 j 是無窮大）。 所謂左（右）陪集的個數的含義就是左（右）陪集中本質不同的集合（注意這里講的是集合）個數。
那么我們可以得到一個推論就是： 對於 G 中的任意元素 a ， a 的階為 |G| 的因子。
那么 a 的階就是以 a 為生成元構成的群的大小，<a> 就是 a 構成的一個循環群。
那么這里我們就可以證明出費馬小定理了。
也就是說我們令 G 為 1~p-1 構成的 %p 意義下的乘法群（p 仍然是質數），
然后 G 中的任意元素 a 必然滿足 $a^{p-1} %p = 1$
證：
設 a 構成的循環群大小為 d，則 $a^d ≡ 1 (mod\ p)$
又∵根據 Lagrange定理 可得 d|(p-1)
令 j =(p-1)/d
∵ $a^{d*j} ≡ 1(mod\ p)$
∴ $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p)$
得證！
然鵝 Lagrange定理 真的懶得證了，所以這里就貼個網址你自己去看吧！
提醒一下，里面要用到陪集的性質，也就是兩個左(右)陪集滿足：
1. aH=bH
2. aH∩bH=∅
順便提一下，這樣可以連着蒙哥馬利快速模的正確性一起證掉（當然這里 p 還是質數）
因為如果 $a^{p-1} ≡ 1(mod\ p) $，那么也就是 $a*a^{p-2} ≡ 1(mod\ p)$
根據逆元定義， $a^{p-2}%p$ 就是 a 在模 p 意義下的逆元咯~
然后水過了一篇證明（這能說是偽證么2333）