費馬小定理的證明

費馬小定理：
(摘自百度百科)費馬小定理(Fermat's little theorem)是數論中的一個重要定理，在1636年提出，其內容為： 假如p是質數，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p），即：假如a是整數，p是質數，且a,p互質(即兩者只有一個公約數1)，那么a的(p-1)次方除以p的余數恆等於1。

定理：a^(p-1)≡1(%p),(a,p)=1;

在這之前首先來證明兩個引理：

引理1：若(p,c)=1,且ac≡bc(%p),那么a≡b(%p)

證：
由ac≡bc(%p)得：ac-bc≡0(%p)
∴(a-b)c≡0(%p)
∴(a-b)c是p的整數倍
∵(c,p)=1
∴原式 <=> kpc≡0(%p)
∴(a-b)=kp
∴(a-b)%p≡0.

引理2：若a1,a2,a3,a4,...am 為 %m 的完全剩余系且(m,b)=1，則b*a1,b*a2,b*a3,b*a4,...b*am 也
是 %m 的完全剩余系

證(反證法)：
假設存在 b*ai ≡ b*aj (%p) 由引理1得ai ≡ aj (%p),然而這顯然是錯誤的，所以引理2成立。

首先構造%p的完全剩余系
    0,1,2,3,4,...p-1.
    
    ∵ (a,p)=1;
    
    ∴ a,2a,3a,4a,(p-1)a 也是%p 的完全剩余系
    
    ∴ 1*2*3*4*...*(p-1) ≡ a*2a*3a*4a*...*(p-1)*a ( % p ) //可以將等式右邊分別模進去就是左邊的樣子
 
    ∴ (p-1)!≡(p-1)!*a^(p-1) ( % p )

    ∵( p , ( p - 1 ) ! )=1//證明：
        一個（質數-1） 的階乘不可能是這個質數的倍數，
            1*2*3*4*5*6  7
            若果想要是 7 的倍數 則必須出現 k*7 ，所以必須要構造出一個7，（用幾個數相乘）然而除了1*7之外沒有滿足條件的其他數,顯然這是不成立的，無法找到一個 k 值滿足條件，所以 ( (p-1)! , p ) = 1  成立。}
    
    根據引理1，等式兩邊同時約去(p-1)!得
    
    a^(p-1)≡1(%p)
    得證.