除法取模與逆元/費馬小定理

對於正整數和，如果有，那么把這個同余方程中的最小正整數解叫做模的逆元。

逆元一般用擴展歐幾里得算法來求得，如果為素數，那么還可以根據費馬小定理得到逆元為。（都要求a和m互質）

 

推導過程如下(摘自Acdreamer博客)

這個為費馬小定理，m為素數是費馬小定理的前置條件。

求a/b=x(mod M）

只要M是一個素數,而且b不是M的倍數,就可以用一個逆元整數b1,通過 a/b=a*b1 (mod M)，只能來以乘換除。
費馬小定理:對於素數 M 任意不是 M 的倍數的 b，都有：b ^ (M-1) = 1 (mod M)
於是可以拆成：b*b^(M-2)=1(mod M)
於是:a/b=a/b*(b * b ^ (M-2))=a*(b ^ (M-2)) (mod M)

求a/b=x(mod M)

用擴展歐幾里德算法算出b1,然后計算a*b1(mod M)

exgcd(b,M,x,y);   b1=x;

 

 

當p是個質數的時候有
inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

 

證明：

設x = p % a,y = p / a
於是有 x + y * a = p
(x + y * a) % p = 0
移項得 x % p = (-y) * a % p
x * inv(a) % p = (-y) % p
inv(a) = (p - y) * inv(x) % p
於是 inv(a) = (p - p / a) * inv(p % a) % p

然后一直遞歸到1為止，因為1的逆元就是1

 

#include<cstdio>
typedef long long LL;
LL inv(LL t, LL p) 
{//求t關於p的逆元，注意:t要小於p，最好傳參前先把t%p一下 
    return t == 1 ? 1 : (p - p / t) * inv(p % t, p) % p;
}
int main()
{
    LL a, p;
    while(~scanf("%lld%lld", &a, &p))
    {
        printf("%lld\n", inv(a%p, p));
    }
}

它可以在O(n)的復雜度內算出n個數的逆元

#include<cstdio>
const int N = 200000 + 5;
const int MOD = (int)1e9 + 7;
int inv[N];
int init()
{
    inv[1] = 1;
    for(int i = 2; i < N; i ++)
        inv[i] = (MOD - MOD / i) * 1ll * inv[MOD % i] % MOD;
}
int main()
{
    init();
}