火車上看的一篇文章。寫得真是簡單易懂。
（選自《數論妙趣——數學女王的盛情款待》第六章 開門咒）
費馬小定理有多種證法，以同余證法最為簡短而精致。
任意取一個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上一個與13互質的數，比如3，得到3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同余於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些余數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已。
把1,2,3,„,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,„,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是312×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同余於1,2,3,„,12系列，盡管順序不是一一對應，即312×12！≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得312≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理
xp－1≡1 mod p。
我自己解釋一遍(..•˘_˘•..)就是：
1*2*..*12 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因為順序不同而已）
而3*6*9*12*15*18*21*24*27*30*33*36 ≡ 3*6*9*12*2*5*8*11*1*4*7*10 mod 13 （因為3和13互質，所以1，2，.. 12 乘上3后還是和13互質，12個數還是和1到12同余 ，只是順序不同了 ）。
所以312×12！≡12！mod 13。
費馬小定律可以快速求得x關於p的逆。前提是x與p互質。
x*xp-2 ≡1 mod p
所以xp-2就是x關於p的乘法逆元。