費馬小定理

二、費馬小定理

費馬小定理是數論中的一個定理：假如a是一個整數，p是一個質數，那么

是p的倍數(即(a ^p-a)%p==0  -->  a ^p%p=a%p)，可以表示為

如果a不是p的倍數，這個定理也可以寫成(同余式寫法)

同余式

如果兩個正整數 a和 b之差能被 n整除，那么我們就說 a和 b對模n同余，記作：

證明

任意取一個質數，比如13。考慮從1到12的一系列整數1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，給這些數都乘上一個與13互質的數，比如3，得3,6,9,12,15,18,21,24,27,30,33,36。對於模13來說，這些數同余於3,6,9,12,2,5,8,11,1,4,7,10。這些余數實際上就是原來的1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12，只是順序不同而已。
把1,2,3,…,12統統乘起來，乘積就是12的階乘12！。把3,6,9,…,36也統統乘起來，並且提出公因子3，乘積就是3¹²×12！。對於模13來說，這兩個乘積都同余於1,2,3,…,12系列，盡管順序不是一一對應，即3¹²x12!≡12！mod 13。兩邊同時除以12！得3¹²≡1 mod 13。如果用p代替13，用x代替3，就得到費馬小定理x^p－1≡1 mod p。

應用

• 計算2^100除以13的余數

2^100除以13的余數

• 證明對於任意整數a而言
  
  
  
  恆為2730的倍數。13減1為12，12的正因數有1, 2, 3, 4, 6, 12，分別加1，為2, 3, 4, 5, 7, 13，其中2, 3, 5, 7, 13為質數，
  根據定理，
  
  
  
  為2的倍數、為3的倍數、為5的倍數、為7的倍數、為13的倍數，即235713=2730的倍數。

• long long f(long a,long b,long n)  //定義函數，求a的b次方對n取模
  {
      int t,y;
      t=1;
      y=a;
      while(b!=0)
      {
          if((b&1)==1)
          t=t*y%n;
          y=y*y%n;
          b=b>>1;
      }
      return t;
  }

   

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來源：簡書