微分三大中值定理，羅爾中值定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理、柯西（Cauchy）中值定理。
我對拉格朗日中值定理的構造函數的構造思路，進行了自己的猜測，網上沒有找到類似的猜測和研究
下面的費馬定理可以看做是三大中值定理的引理
費馬定理(fermat):\(設f(x)在其極值點x_{0}處可導，則f'(x_{0})=0\)
*以下證明的前提，都是在(a,b)上可導，而不是[a,b]上可導，原因在於端點a,b兩側，[a,b]之外，未必可導，甚至未必有定義。
a,b的左右導數，未必等於另一側導數。即，a點左導數，不一定等於a點右導數
*拉格朗日中值定理，是羅爾中值定理的推廣，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的一個特例，即函數在定義域內兩端點函數值相等的特例。
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一個特例，即，g(x)=x,結論就變成了拉格朗日中值定理。
\(證明：因為f(x)在x_{0}點位極值點，故\exists x_{0}的鄰域U(x_{0},\delta)，\forall x \in U，有f(0)\geqslant f(x)\)
\(在x_{0}點的左右極限如下\)
\(左極限為\quad\quad lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-\delta)}{\delta}\geqslant 0\)
\(右極限為\quad\quad lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0}+\delta)-f(x_{0})}{\delta}\leqslant 0\)
\(因為f(x)在x_{0}可導，所以左極限與右極限相等，故\)
\(0 \leqslant lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0})-f(x_{0}-\delta)}{\delta}=f'(x_{0})=lim_{\delta \to 0}\frac{f(x_{0}+\delta)-f(x_{0})}{\delta}\geqslant 0\)
\(可得 f'(x_{0})=0\)
\(羅爾中值定理(Rolle)設函數f在[a,b]上連續，在(a,b)內可導，且f(a)=f(b),那么\\至少存在一點\xi \in (a,b)，有f'(\xi)=0\)
證明：因為函數 f(x) 在閉區間[a,b] 上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 M 和 m 表示，分兩種情況討論：
2. 若 M>m，則因為 f(a)=f(b) 使得最大值 M 與最小值 m 至少有一個在 (a,b) 內某點ξ處取得，從而ξ是f(x)的極值點，又條件 f(x) 在開區間 (a,b) 內可導得，f(x) 在 ξ 處取得極值，由費馬引理，可導f'(ξ)=0。
另證：若 M>m ，不妨設f(ξ)=M，ξ∈(a,b)，由可導條件知，f'(ξ+)<=0，f'(ξ-)>=0，又由極限存在定理知左右極限均為 0，得證。
\(拉格朗日中值定理：設f在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則存在一點ξ\in (a,b),有\\\)
\(\quad\quad\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(ξ)\)
\(證明：構造輔助函數g(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)\)
\(則g(x)在[a,b]上連續，且在(a,b)上可導\)
\(且有g(a)=0,g(b)=0\)
\(根據羅爾定理，至少\exists 一點\xi 有g'(\xi)=0\)
\(即g'(\xi)=0\)
\(則有g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(a)-f(b)}{b-a}=0\)
\(即：f'(\xi)=\frac{f(a)-f(b)}{b-a}\)
證畢
拉格朗日中值定理
\(若f(x),g(x)在[a,b]上連續，在(a,b)上可導，則\exists \xi，有\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f'(\xi)\)
\(證明：構造輔助函數\quad F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}*(x-a)\)
\(則\quad F(a)=F(b)=0\)
\(由羅爾中值定理，\exists \xi,有F'(\xi)=0\)
\(即\quad f'(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0\)
\(即f'(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\)
柯西中值定理：
\(若f(x),g(x)在[a,b]上連續，且在(a,b)上可導，那么\\\)
\(\exists \xi \in (a,b)，有\quad\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\)
\(證明：構造輔助函數F(x)=(f(b)-f(a))(g(x)-g(a))-(g(b)-g(a))(f(x)-f(a))\)
\(則\quad F(a)=F(b)=0\)
\(由羅爾中值定理，可知\quad \exists \xi \in(a,b),有\\\)
\(F'(\xi)=0\)
\(即\quad F'(\xi)=(f(b)-f(a))g'(\xi)-(g(b)-g(a))f'(\xi)=0\)
\(即：\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}\\\)
柯西中值定理，是拉格朗日中值定理的一個特例，即，g(x)=x,結論就變成了拉格朗日中值定理。