如果一個處處可導的函數的圖像和一條水平直線交於不同的兩點（如圖所示），
那么在這兩點間的函數圖像上至少存在一點處的切線平行於該水平直線（顯然也平行於x軸），這種現象可以更嚴謹地表述為羅爾定理（Rolle’s Theorem[1]）：如果函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，並且f(a)=f(b)，那么至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0。
上面說到的平行關系在羅爾定理中是這樣體現的：因為f(a)=f(b)，所以(a,f(a))和(b,f(b))可以確定一條水平直線，因為f’(c)=0，所以函數f(x)在(c,f(c))處的切線也是一條水平直線，很顯然這兩條直線平行。
羅爾定理的證明要求的是關於導數等於0的結論，我想到的是：（1）如果f(x)是常數函數的話，那么定義域內任意一點的導數都為0；（2）可導的函數在極值點處導數為0。所以這里證明的難點是：如果f(x)不是常數函數，那么該怎么證明其有極值存在於(a,b)內呢？若能證明之，則羅爾定理得證。如果f(x)不是常數函數，因為f(x)在[a,b]上連續，那么在該區間上面必然存在極大值和極小值，假設極大值和極小值均在端點處取得，再加上本定理的條件已經聲明f(x)在兩端點處的值相等（即f(a)=f(b)），可得出這種情況下函數的極大值等於極小值，這樣的函數顯然是常數函數，這與開頭的假設“f(x)不是常數函數”相悖，所以f(x)不是常數函數情況下其極大值和極小值不可能都在端點處取得——至少存在一個極值點於(a,b)內，又因為f(x)在 (a,b) 上可導，所以該處函數導數為0。下面是我的證明過程：因為f(x)在[a,b]上連續，那么在該區間上面必然存在極大值和極小值。其極值的分布情況只有兩種可能：（1）若f(x)的極值至少有一個在(a,b)內取得，設該極值點的橫坐標為c，因為f(x)在 (a,b) 上可導，所以有f’(c)=0；（2）若f(x)的極值均不在(a,b)內取得——極值均在端點處取得，這兩個極值分別是f(a)和f(b)，由於本定理的條件中已經聲明f(x)在兩端點處的值相等（即f(a)=f(b)），可知函數的極大值等於極小值，這樣的函數顯然是常數函數，那么於(a,b)內的任何一點c都有f’(c)=0。綜上，至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0，羅爾定理得證。
上面的證明思路和我分析問題的思路是有差別的，證明過程是對我分析問題的思路的整合與升華，借此順便一提：書上的證明過程未必和我們解決問題的思路一致，諸位留意！
羅爾定理要求“函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導”，這兩個條件總讓我感覺有些憋扭，因為f(x)在 (a,b) 上可導的話就一定可得出f(x)在 (a,b) 上連續，於是可把條件轉化為“函數f(x)在(a,b) 上可導，在a、b兩點處連續”，但感覺還是不夠簡潔，為什么不直接把條件簡單地限制為“函數f(x)在[a,b]上可導”呢？在這個條件下一定會有“函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導”，后來我想到不做這種簡化的原因可能是：函數在a、b兩端點處的導數可能是+∞或-∞——不可導，在這種情況下如果把“函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導”簡化成“函數f(x)在[a,b]上可導”就會使羅爾定理不適用於下面這種情況[2]（該函數在-1和1處不可導）：
認識到這種情形之后，我們可以有一個適用范圍小一點但同時也更簡潔的羅爾定理：如果函數f(x)在[a,b]上可導，並且f(a)=f(b)，那么至少存在一點c於(a,b)內使得f’(c)=0。
如果函數f(x)在[a,b]上不連續，那么羅爾定理可能不成立，如圖所示：
如果函數f(x)在(a,b)上不可導，那么羅爾定理可能不成立，如圖所示：
上面兩圖意在讓各位認識到羅爾定理的成立條件的必要性。
若一條直線和處處可導的函數f(x)的圖像交於(a,f(a))和(b,f(b))兩點，將該直線上下平移，那么總存在該直線和函數f(x)的圖像相切的情形，
這種現象可以更嚴謹地表述為微分中值定理（亦稱拉格朗日中值定理，the mean value theorem of the differential calculus）：如果函數f(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，那么至少存在一點c於(a,b)內使得\(f^{'}\left( c \right) = \frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。
微分中值定理可以看作是羅爾定理旋轉后的情形[3]——可設想把滿足羅爾定理的圖像旋轉一個角度后，那么原來過(a,f(a))和(b,f(b))的水平直線變成了斜率為\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)的直線，而那條切線始終與之平行，所以斜率（該點的導數）依然等於\(\frac{f(b) - \ f(a)}{b - a}\)。
微分中值定理也可以用羅爾定理來證明，如下：
過(a,f(a))和(b,f(b))的直線的方程是\(g\left( x \right) = f\left( a \right) + \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，f(x)和g(x)的縱向差距可表示為\(h\left( x \right) = f\left( x \right) - g\left( x \right) = f\left( x \right) - f\left( a \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}(x - a)\)，因為f(x)和g(x)的圖像在兩端點處相交，所以h(a)=h(b)=0，同時不難得出h(x)在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，所以h(x)滿足羅爾定理，因而存在一點c於(a,b)內使得\(h’(c) = 0 = f'\left( c \right) - \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，進而可得出\(f^{'}(c) = \frac{f\left( b \right) - \ f\left( a \right)}{b - a}\)，微分中值定理得證。
作為微分中值定理的應用，我們可以考慮這樣一種情形：假如一輛車做變速運動，一小時行了20km，如果f(x)是車的位移函數、f(0)=0、f(1)=20，微分中值定理告訴我們在這一小時內必然有一刻車速為\(\frac{f\left( 1 \right) - \ f\left( 0 \right)}{1 - 0} = \frac{20 - 0}{1 - 0} = 20(km/h)\)。如果你對此仍懷疑，那么請設想其反面：若這一小時內車速始終大於或小於20km/h會出現什么情況？……所以這一小時內車速絕對會有一刻為20km/h。
對比一下微分中值定理和羅爾定理的差異，我們不難發現微分中值定理可以囊括羅爾定理的情形——微分中值定理中f(a)=f(b)的時候它便退化成了羅爾定理，也就是說微分中值定理具有更普遍的適用范圍。現在讓我們來看一個更廣義的微分中值定理[4]（亦稱柯西中值定理，Generalized Mean Value Theorem of the Differential Calculus）：如果f(x)和g(x)都在[a,b]上連續，(a,b) 上可導，那么至少存在一點c於(a,b)內使得
如果在(a,b)上\(g^{'}\left( x \right) \neq 0\)，那么有
為什么說該定理是更廣義的微分中值定理呢？微分中值定理就是上面這個等式中令g(x)=x的情形[5]。至於廣義微分中值定理的證明，我們只用令\(h\left( x \right) = \left\lbrack f\left( b \right) - f\left( a \right) \right\rbrack g\left( x \right) - \left\lbrack g\left( b \right) - g\left( a \right) \right\rbrack f\left( x \right)\)，然后對其應用微分中值定理便不難得證。
下一節我會講到洛必達法則（L’Hospital’s rule），我將向各位提供可以理解掌握的、能從中吸取到有用經驗的∞/∞型洛必達法則的證明方法，敬請期待！
Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p191 ↩︎
Joel R. Hass, Christopher E. Heil, Maurice D. Weir ,Thomas’ calculus, 14^th^ edition, p193 ↩︎
Morris Kline, Calculus : an intuitive and physical approach, second edition, Chapter 13，Section 2 ↩︎
Stephen Abbott, Understanding Analysis, second edition, p158 ↩︎
常慶哲、史濟懷，《數學分析教程》上冊（2003），p155 ↩︎