微分中值定理與簡單例題

羅爾中值定理

描述

如果$R$上的函數$f(x)$滿足以下條件：

（1）在閉區間$[a,b]$上連續

（2）在開區間$(a,b)$內可導

（3）$f(a) = f(b)$

則至少存在一個$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=0$。

證明

因為函數$f(x)$在閉區間$[a,b] $上連續，所以存在最大值與最小值，分別用 $M $和 $m$ 表示，分兩種情況討論：

1. 若 $M=m$，則函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上必為常函數，結論顯然成立。

2. 若 $M>m$，則因為 $f(a)=f(b)$ 使得最大值 $M$ 與最小值 $m$ 至少有一個在 $(a,b)$ 內某點$ξ$處取得，從而$ξ$是$f(x)$的極值點，又條件 $f(x)$ 在開區間 $(a,b)$ 內可導得，$f(x)$ 在 $ξ$ 處取得極值，由費馬引理，可導的極值點一定是駐點，推知：$f'(ξ)=0$。

拉格朗日中值定理

描述

如果$R$上的函數$f(x)$滿足以下條件：

（1）在閉區間$[a,b]$上連續

（2）在開區間$(a,b)$內可導

則至少存在一個$ξ∈(a,b)$，使得$f'(ξ)=\frac{f(a)-f(b)}{a-b}$

拉格朗日中值公式

證明

令$g(x) = f(x)-f(a)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}(x-a)$，可得$g(a)=g(b)$，又根據羅爾中值定理，必有$g'(\xi)=f'(\xi)-\frac{f(a)-f(b)}{a-b}=0$，變形得$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$

柯西中值定理

描述

如果$R$上的函數$f(x),g(x)$滿足以下條件：

（1）在閉區間$[a,b]$上連續

（2）在開區間$(a,b)$內可導

則至少存在一個$ξ∈(a,b)$，使得$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

證明

令$F(x)=[f(a)-f(b)][g(x)-g(a)]-[g(a)-g(b)][f(x)-f(a)]$，$F(a)=F(b)=0$，又根據羅爾中值定理，必有$[f(a)-f(b)]g'(\xi)-[g(a)-g(b)]f'(\xi)=0$，所以有$\frac{f(a)-f(b)}{g(a)-g(b)}=\frac{f'(\xi)}{g'(\xi)}$

例題

e.g.1

求證：$x>1$時，$e^{x}>ex$

證明：令$f(x)=e^{x}$，顯然$f(x)$滿足拉格朗日中值定理使用條件。則在區間$(1,x)$內，由拉格朗日中值定理可知，$f(x)-f(1)=f'(\xi)(x-1)$，得$e^{x}-e=e^{\xi}(x-1)$，又因為$\xi\in (1,x),x>1$，故$e^{\xi}(x-1)>0$，所以$e^{x}-e>0$，即$e^{x}>e$，$Q.E.D$

e.g.2

求證：當$0<a<b$時，$\frac{a-b}{b}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{a}$

證明：$ln\frac{a}{b}=lna-lnb$，令$f(x)=lnx$，顯然$f(x)$滿足拉格朗日中值定理使用條件。$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$，所以$f(a)-f(b)=\frac{a-b}{\xi}$，因為$\xi\in (a,b),a<b$，所以$\frac{a-b}{b}<lna-lnb<\frac{a-b}{a}$即$\frac{a-b}{b}<ln\frac{a}{b}<\frac{a-b}{a}$，$Q.E.D$

e.g.3

求證：$a>b>0,n>1$時，$nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$

證明：令$f(x)=x^n$，顯然$f(x)$滿足拉格朗日中值定理使用條件。$f(a)-f(b)=f'(\xi)(a-b)$，所以$a^n-b^n=n\xi^{n-1}(a-b)$，又因為$\xi\in(b,a)$，所以$nb^{n-1}(a-b)<a^n-b^n<na^{n-1}(a-b)$，$Q.E.D$