中值定理
關於函數
設\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續，則
-
有界與最值定理：一個函數在一個有界區間內，一定最大值和最小值。
-
介值定理：閉區間上的連續函數，函數值能夠取到最大值與最小值之間的任何數。
-
平均值定理：在區間內，一定有一點的函數值等於函數在區間內所有值的均值。
-
零點定理：如果兩個點的函數值異號，則在兩點之間一定存在一點使得函數值為0。
關於微分或導數
-
費馬定理：如果一個函數在一點處可導並取得極值，則函數在該點的導數等於0。
-
羅爾定理：設\(f(x)\)滿足三個條件，①在\([a,b]\)上連續，②在\((a,b)\)內可導，③\(f(a)=f(b)\)。則區間內存在一個點的導數為0。
-
拉格朗日中值定理：設 \(f(x)\) 滿足 \(\left\{\begin{array}{l}\text { (1)在 }[a, b] \text { 上連續, } \\ \text { (2)在 }(a, b) \text { 內可導, }\end{array}\right.\)則區間內存在一點\(\xi\)，使得
\[f(b)-f(a)=f^{\prime}(\xi)(b-a), \]或者寫成
\[f^{\prime}(\xi)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a} . \] -
柯西中值定理：設 \(f(x), g(x)\) 滿足 \(\left\{\begin{array}{l}\text { (1)在 }[a, b] \text { 上連續, } \\ \text { (2)在 }(a, b) \text { 內可導, 則存在 } \xi \in(a, b) \text {, 使得 } \\ \text { (3) } g^{\prime}(x) \neq 0,\end{array}\right.\) \(\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{f^{\prime}(\xi)}{g^{\prime}(\xi)} .\)
證明（Bilibili up：萌弟AI）：
-
泰勒公式
- 帶拉格朗日余項的\(n\)階泰勒公式
- 帶佩亞諾余項的\(n\)階泰勒公式
關於積分
- 積分中值定理：設函數在閉區間\([a,b]\)上連續，則在區間內存在一點，使得函數在區間上的積分 等於 該點的函數值乘以區間長度。
\[\int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x=f(\xi)(b-a).$ \]