一、第一中值定理
如果函數f(x)在閉區間[a，b]上連續，則在積分區間[a，b]上至少存在一個點$\xi $，使得$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(\xi )(b-a).(a\leqslant \xi \leqslant b)$
二、微積分基本定理
積分上限函數：函數f(x)在區間[a，b]上連續，對於定積分$\int_{a}^{x}f(x)dx$每一個取值的x都有一個對應的定積分值。記作：$\Phi (x)=\int_{a}^{x}f(t)dt$
定理1：
定理2（原函數存在定理）：
三、牛頓—萊布尼茲公式
牛頓-萊布尼茲公式（Newton-Leibniz formula），通常也被稱為微積分基本公式，它揭示了定積分與被積函數的原函數或者不定積分之間的聯系。
如果F(x)是連續函數f(x)在區間[a，b]上的一個原函數，則：$\int_{a}^{b}f(x)dx=F(b)-F(a)$
解釋：一個連續函數在區間[a，b]上的定積分等於它的任意一個原函數在區間[a，b]上的增量
幾何解釋：
可得：$f(b)-f(a)=\sum dy$，由於$dy={f}'(x)dx$，所以 $f(b)-f(a)=\sum f'(x)dx=\int_{a}^{b}f'(x)dx$
例題：求解$\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}(2\cos x+\sin x-1)dx$
定理3（微積分基本公式）：
有$f(x)\in C[a,b]$，且$F'(x)=f(x)$
例題：計算由曲線y2=2x和直線y=x-4所圍成的圖形的面積
四、泰勒公式
簡單來講就是用一個多項式函數去無限逼近一個給定的函數(即盡量使多項式函數圖像擬合給定的函數圖像，如sin x，cos x等函數值的近似計算)，注意，逼近的時候一定是從函數圖像上的某個點展開。如果一個非常復雜函數，想求其某點的值，直接求無法實現，這時候可以使用泰勒公式去近似的求該值，這是泰勒公式的應用之一。泰勒公式在機器學習中主要應用於梯度迭代。
首先回憶微分
若$f'(x_{0})$存在，在$x_{0}$附近有$f(x_{0}+\Delta x)-f(x_{0})\approx f'(x_{0})\Delta x$。
由於$\Delta x=x-x_{0}$，可以得到$f(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+o(x-x_{0})$，
近似可得$f(x)\approx f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})$。
接着再來引出泰勒公式，如果說我們想要以直線來近似的代替一個曲線，如下圖所示
只用一階導數看起來有點不准呀，如上圖所示，能不能在利用一些呢？答案肯定是可以的，一階導數只幫我們定位了下一個點是上升還是下降，然后對之后的趨勢就很難把控了。
那如何定位的更准確一些呢？如果我們再把二階導數利用上呢？
我們可以發現，這樣的方式存在精確度不夠高，誤差不能估計等不足之處。所以，主要的問題就是尋找函數P(x)，使得f(x)≈P(x)，從而使得誤差R(x)=f(x)-P(x)可估計。
分析：如果說要f(x)≈P(x)，且近似程度要好，Pn(x)應該滿足什么條件？
由上圖就可以引出泰勒公式了
$P_{n}(x)=f(x_{0})+f'(x_{0})(x-x_{0})+\frac{f''(x_{0})}{2!}(x-x_{0})^{2}+\cdots +\frac{f^{(n)}(x_{0})}{n!}(x-x_{0})^{n}$稱為f(x)在點x0關於(x-x0)的n階泰勒多項式，這個式子只能說是得到的值能夠無限的逼近真正的函數值，但是其中還存在一個誤差項R(x)，也就是說f(x)=R(x)+P(x)，這里的誤差項稱為余項。對於一般的機器學習、深度學習來說，余項本身也用不上在加上其比較復雜，所以在這里就不作解釋了。
五、泰勒公式詳細解釋
多項式逼近如下圖所示
公式里面的階數是什么意思呢？
階數越高增長速度越快。觀察可發現，越高次項在越偏右側影響越大。對於一個復雜函數，給我們的感覺是在當前點，低階項能更好的描述當前點附近，對於之后的走勢就越來越依靠高階的了。
公式里面的階乘是什么意思呢？
如果把9次的和2次的直接放在一起，那2次的就直接不用玩了呀，它們之間的差距太大了。但是在開始的時候應該是2次的效果更好，之后才是慢慢輪到9次的。
有了階乘(!)之后，就幫助我們解決了這樣的問題
如下圖所示，使用不同階的多項式函數來逼近$y=\sin x$函數
可以看到，階數越高的函數越能擬合$y=\sin x$函數。