若函數 $f(x)$ 在閉區間 $[a,b]$ 上連續，則至少存在一點 $\xi \in [a,b]$，使下式成立
$$\int_{a}^{b}f(x)dx = f(\xi)(b-a)$$
證明：
由最值定理可知，$f(x)$ 在區間 $[a,b]$ 上存在最大值和最小值，分別設為 $M$ 和 $m$，則
$$m \leq f(x) \leq M$$
兩邊同時積分可得
$$m(b-a) \leq \int_{a}^{b}f(x)dx \leq M(b-a)$$
兩邊同除以 $b-a$ 得
$$m \leq \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx \leq M$$
由介值定理可得，存在 $\xi \in [a,b]$，使得
$$f(\xi) = \frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx, \xi \in [a,b]$$
證畢