設f(x)在[a,b]上連續，g(x)在[a,b]上可積且不變號，則存在ξ∈[a,b]，使得
$∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$
證明：不妨設g(x)≥0，因為f(x)在[a,b]上連續，故有最大值M和最小值m，於是在[a,b]上有
$mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x)$
由f(x)在[a,b]上連續可知f(x)在[a,b]上可積，則f(x)g(x)在[a,b]上可積，則
$m∫^b_ag(x)dx≤∫^b_af(x)g(x)dx≤M∫^b_ag(x)dx$
若\(∫^b_ag(x)dx=0，則∫^b_af(x)g(x)dx=0，則對於任意ξ∈[a,b]都滿足∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx\)
當\(∫^b_ag(x)dx＞0\)時，又有
$m≤\frac{∫^b_af(x)g(x)dx}{∫^b_ag(x)dx}≤M$
即\(k=\frac{∫^b_af(x)g(x)dx}{∫^b_ag(x)dx}\)是介於m和M之間的數，由界值定理可知，有ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=k，即
$∫^b_af(x)g(x)dx=f(ξ)∫^b_ag(x)dx$