中值定理--函數的中值定理

費馬引理

• 設f(x)滿足在x₀點處 可導且取極值，則 f'(x₀)=0
• 點x₀取極值則x₀的導數必為0

費馬引理的證明

　　

證明區間內一點導數為零，考慮羅爾定理和費馬引理

　　

• 導數不為0，導函數必然保號（恆正或恆負，因為零點定理）

羅爾定理

 羅爾定理推廣

 羅爾定理的使用

利用乘積求導公式的逆用，(uv)' = u'v + uv'

解題關鍵

• 構造輔助函數
• 找相等的端點

 

拉格朗日中值定理

柯西中值定理

• 設f(x)，g(x)滿足，在[a, b]連續，在(a, b)內可導，存在ξ ∈(a, b)，g'(x)≠0，使得 
• 取g(x)=x，可以推出拉格朗日中值定理   拉格朗日是柯西的特例

•  令f(a)=f(b)，可以推出羅爾定理

泰勒公式

常用的級數

 

 

 

聯系 f 與 f ' 考慮拉格朗日，聯系 f 與 f '' 考慮泰勒公式

 

達布中值定理（導函數介質定理）

 

根據達布中值定理，如果導函數存在，要么連續，要么震盪