高數學習筆記之三大微分中值定理（羅爾中值定理 拉格朗日中值定理 柯西中值定理）

# 該文轉載馬同學知乎 （在此給馬同學高數打個廣告，推薦購買馬同學圖解系列課程）

0x00 概述 

微分中值定理是很重要的基礎定理，很多定理都是以它為基礎進行證明的。

 

0x01 羅爾中值定理

1.1 直覺

這是往返跑：

可以認為他從 點出發，經過一段時間又回到了 點，畫成 （位移-時間）圖就是

 

 

 根據常識，因為要回到起點，中間必定有速度為0的點：

 

 拳擊比賽中，步伐復雜：

 

 但不論怎樣，只要最后回到起點，中間必定有速度為0的點：

 

 

 這就是羅爾中值定理。

 

1.2 羅爾中值定理

設函數滿足以下三個條件：

在閉區間連續是必須的，否則有可能沒有

 

 

 

 在開區間可導也是必須的：

 

 

 

1.3 拓展

可能有的同學覺得，定理中的條件“ 在閉區間連續、在可導”比較古怪，

為什么不是“在閉區間連續、在 可導”？

 

大概有兩個原因，首先，“開區間可導”條件更弱，包含了“閉區間可導”；其次，”開區間可導”的函數並不一定就“閉區間可導”，

比如：

 

 

此函數在圖像如下：

 

 此函數就是在 連續， 可導，在端點 處導數不存在（類似於在0點處不可導，可自行證明）。

 

0x02 拉格朗日中值定理

 2.1 直覺

來看下交通管理中的區間測速：

時間 采集到汽車的位移為 ，時間 采集到汽車的位移為

 

 可以據此算出平均速度為：

 

 

比如算出來平均速度為 ，平均速度是由瞬時速度疊加的結果，那么路程中的瞬時速度可能為：

• 勻速前進：那么整個路程的瞬時速度必然全為
• 變速前進：整個路程的瞬時速度必然有大於、等於、小於 的情況

下面是變速前進的速度變換動畫（藍色為大於，閃爍為平行即等於，綠色為小於）：

 

 如果限速 ，那么根據汽車的平均速度為 ，就可以判定路程中必然至少有一個點超速。

 

 約瑟夫·拉格朗日伯爵，法國籍意大利裔數學家和天文學家，以他命名的拉格朗日中值定理就可以在數學層面解釋剛才的現象。

 

2.2 拉格朗日中值定理

設函數滿足以下兩個條件：

•  在閉區間 上連續
•  在開區間 上可導

則存在 ，使得

這個定理的幾何意義就是，至少存在一點的切線與端點的連線平行；物理意義是，至少存在一點的速度與平均速度相等：

 

 

 把它旋轉一下，使得 ：

得到的就是羅爾中值定理，可見羅爾是拉格朗日的特例：

 

 

0x03  柯西中值定理

3.1  二維空間中的運動

之前討論的是一維空間中的運動，下面來看看二維空間中的運動（關於這點，可以參看課程中“參數方程求導與相關變化率”這一節）。

假設參數方程：

 

 描述了一個二維空間中的運動：

為了方便描述，令 、 ，那么上圖描述的就是 時刻在 位置， 時刻運動到了 位置。

向量 就表明了最終的運動方向：

 

 仔細分析此運動過程，剛開始的時候，速度 的方向與 相反，也就是說點是反着走的：

所以需要不斷轉彎調整：

最終才能到達目的地：

 

容易想象，在轉彎調整的過程中，必然會有 和 同向的時刻，比如 時刻：

 

 那么兩者所在直線必然也平行：

 

 此時， 所在直線的斜率：

 

 以及 所在直線的斜率（根據參數方程的求導法則）：

 

 必然相等：

 

 這就是柯西中值定理

 

3.2 柯西定理

設函數滿足以下條件：

•  在閉區間 上連續
•  在開區間 上可導
•  有：

則存在 ，使等式

成立。

 

可以把 組合成參數方程：

 

 這樣柯西中值定理就有類似於拉格朗日中值定理一樣的幾何意義：

如果：

 

 那么柯西中值定理就變為了拉格朗日中值定理，所以拉格朗日又是柯西的特例。

 

0x04 總結

三大微分中值定理的聯系與區別：