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截圖在文章評論
英語單詞: lagrange mean value theorem
auxiliary function
construction of the auxiliary function
有多種構造方法, 輔助函數不止一個
一，幾何方法,多種
思路:設構造出的輔助函數為F，必須有F(a)=F(b)，才能應用羅爾中值定理
(注意，是F(a)=F(b),而非F(a)=F(b)=0,不需要等於0)
\(方法1：讓F(x)曲線的弦下移，跟x軸重合，即可保證F(a)=F(b)，且F(a)=F(b)=0\)
\(方法2：只需f(x)的左側端點a點不動，右側的端點下移到跟左側端點a點相同高度即可保證F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)\neq0\)
\(方法3：讓左側端點上升到跟右側端點相同水平高度即可保證F(a)=F(b),但是F(a)=F(b)\neq0\)
拉格朗日的做法，是方法1.
方法1
\(讓f(x)在[a,b]區間內的所有點下移，下移直線弦AB，並使之跟x軸重合，即F(a)=F(b)=0。\\\)
\(這個下移的距離是一個跟x有關的函數，這個函數\\\)
\(就是弦AB的直線段的函數：g(x)=kx+b\\\)
\(由:f(a)=ka+b,f(b)=kb+b,\\\)
\(解得，k=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\)
\(\quad\quad b=f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\\)
\(弦方程為：y=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x+f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}a\\\)
\(合並同類項：y=f(a)+\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\\)
\(讓F(x)減去弦的高度，即上式的弦方程，即可做到f(x)曲線的右端點B，落在x軸上\\\)
\(即：F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\)
\(上式與拉格朗日中值定理的輔助函數，完全一致\\\)
\(\\\)
方法2
\(右端點B下降的高度，相當於方法1的結果+a點高度f(a)即可\\\)
\(即F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(a)\\\)
\(即F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)\\\)
\(滿足:F(a)=f(a),F(b)=f(a)\\\)
\(即，滿足:F(a)=F(b)\\\)
\(\\\)
方法3
\(方法3:如果是上移左端點A，只需方法1的結果+右端點高度f(b)即可\\\)
\(即F(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)+f(b)\\\)
\(滿足:F(a)=f(b),F(b)=f(b)\\\)
\(即，滿足:F(a)=F(b)=f(b)\\\)
其他方法
\(用從原點O出發的，跟弦AB平行的直線，上移左端點或者下移右端點，方法類似上面\\\)
\(得到F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\)
\(\\\)
\(\\\)
\(【注意】有網友認為是曲線先下落，然后以(a,0)點為軸，旋轉曲線右端點到x軸，這是錯誤的。\\\)
\(因為旋轉是弧形旋轉，弦AB長度不變，實際是長度縮短了，因為是投影下來的，曲線兩端點的距離不變\)
待定系數法
\(設F(x)=f(x)+\lambda x\\\)
\(則有F(a)=f(a)+\lambda a=F(b)=f(b)+\lambda b\\\)
\(可得:\lambda=-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\\\)
\(則\quad F(x)=f(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}x\\\)
\(與前面的“其他方法”結果一致\\\)
閉區間套法
\(\\\)
定積分法
\(\\\)
不定積分法
\(\\\\\)
旋轉坐標系法(如果旋轉f(x)，類似)
\(\\\\\)
參考文獻
廣西柳州職業技術學院余惠霖的文章
https://wenku.baidu.com/view/403bd330ff00bed5b8f31d0f.html
天水師范學院常正軍的畢業論文
https://www.docin.com/p-694641420.html