單變量微積分筆記10——拉格朗日中值定理

什么是拉格朗日中值定理

　　如果兩地的距離是600公里，駕車走完這600公里耗時6小時，那么在某一時刻，你的速度必定會達到平均速度100公里/小時。

　　上述問題轉換成數學語言：f(x)是距離關於時間的函數，那么一定存在：

　　f’(c)就是c時刻的瞬時速度。前提條件是f(x)在[a, b]上連續，f(x)在(a,b)內可導，且 a < c < b。這就是拉格朗日中值定理的通俗定義。

　　中值定理的幾何意義如下圖所示：

　　在曲線的兩點間做一條割線，割線的斜率就是(f(b)-f(a))/(b-a)， f’(c)是與割線平行的一條切線，與曲線相切於c點。

　　需要注意的是中值定理的前提條件，下面的曲線不滿足中值定理：

　　函數雖然是連續的，但在x=c點處不可導，中值定理要求函數在定義域范圍內全部可導。

推論

1. 如果f’>0，則f遞增
2. 如果f’<0，則f遞減
3. 如果f’=0，則f是常數

　　其中1，2在數學筆記7——曲線構圖中使用過，在討論函數凹凸性時運用了這兩個結論。現在用中值定理給出推論的證明。

 

　　證明推論1：

　　中值定理公式：

　　由於b>a，f’>0，所以f(b)-f(a)>0，f(b)>f(a)，故f遞增。

　　推論2，3的證明與1類似。

示例

示例1：e^x > 1+x

　　證明當x > 0時，e^x >1+x

　　令f(x) = e^x – (1 + x)，f’(x) = e^x – 1

　　f’(x)單調遞增，f’(0) = 0

　　∴ x > 0 時，f’(x) > 0，f(x) = e^x – (1 + x)遞增

　　∵ f(0) = 0，f(x)在x > 0上遞增

　　∴ e^x > 1 + x

示例2：e^x > 1+x+x²/2

　　證明當x > 0時，e^x >1+x+x²/2

　　令f(x) = e^x – (1 + x + x²/2)，f’(x) = e^x – (1 + x)

　　示例1已經證明f’(x) > 0， 所以f(x)是遞增的

　　f(0) = 0， x>0時，f(x) > 1，e^x >1+x+x²/2

示例3：tanx > x

　　證明當0 < x < π/2時，tanx > x

　　設f(x) = tanx，f’(x)=sec²x根據中值定理：

　　f(b) = f(a) + f’(c)(b – a)， a < c < b

　　令 a = 0, x = b <π/2

　　f(x) = f(0) + f’(c)(x – 0) = xsec²c = tanx

　　當 0 < c <π/2時，sec²c = 1/cos²c > 1

　　∴ tanx > x

 

　　也可以令f(x) = tanx – x, f’(x) = sec²x – 1 > 0 => f(x)在定義域內遞增，tanx > x

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