散度定理，又稱為高斯散度定理、高斯公式、高斯－奧斯特羅格拉德斯基公式或高－奧公式，是指在向量分析中，一個把向量場通過曲面的流動（即通量）與曲面內部的向量場的表現聯系起來的定理。它經常應用於矢量分析中。矢量場的散度在體積D上的體積分等於矢量場在限定該體積的閉合曲面s上的面積分。
散度定理
散度定理是三維空間中的格林公式，大概是這樣說的：如果S是一個封閉曲面，D是被曲面封閉的空間，n是指向D外側的單位法向量，F = Pi + Qj + Rk是空間向量場，它在D上處處可微，則曲面S的通量等於散度在D上的體積積分：
如果結合梯度，散度定理還有另一種寫法：
在介紹空間向量場中的通量時，看過這個示例：以a為半徑的球面內，求向量場F = <0,0,z>的通量。
當時是用了球坐標系進行轉換，最終得到結果是4πa3/3，現在可以使用散度定理直接計算：
綜合示例
示例1
如下圖所示，求半徑為r的半球，最在場F = yj中的半球球面的通量。
因為散度定理要求曲面閉合，所以這里不能直接使用散度定理。如果設球面是S1，半球在xz軸的切面是S2，由於S1和S2形成了閉合的曲面，所以：
示例2
如下圖所示，圓柱體軸心是z軸，底面中心點是原點，半徑是R，高是h，求柱體在F = <x4y, -2x3y2, z2>中的通量。
閉合曲面，直接套公式：
使用柱坐標轉換：
示例3
正方體在向量場F = <x,y,z>/ρ3中，ρ = (x2 + y2 + z2)1/2
a) 如果向量場中正方體中處處有定義，證明封閉曲面的通量是0；
b) 如果正方體的幾個頂點是(±2, ±2, ±2)，能否根據a的結論認為正方體表面的通量是0？
a)
根據散度定理，如果閉合曲面在向量場中處處可微，則流過閉合曲面的通量等於散度在閉合曲面的體積積分：
b)
答案是No，因為在0點處不可微，所以不能直接使用散度定理。
作者：我是8位的
