1．獨立變量，即一個量改變不會引起除因變量以外的其他量的改變。只有將某物理量由獨立變量來表達，由它給出的函數關系才是正確的。
2．非獨立變量，一個量改變會引起除因變量以外的其他量改變。把非獨立變量看做是獨立變量，是確定物理量間關系的一大忌。
正確確定物理表達式中的物理量是常量還是變量，是獨立變量還是非獨立變量，不但是正確解答有關問題的前提和保障，而且還可以簡化解答過程。
在理想的氣體狀態方程中，PV/T=C，其中C為常數。可以將其看作一個約束關系g(P,V,T) = C，當其中一個變量改變時，也必將引起其它兩個變量的改變，P、V、T就是g的三個非獨立變量。
非獨立變量的變化
如果有一個包含三個非獨立變量的函數 g(x,y,z) = C，理論上每一個變量都可以用另外兩個變量表示，例如z用x,y表示：z = z(x,y)，這樣就可以更加清晰的知道z與x,y的關系，即當x,y變化時是怎樣影響z的。然而在大多數情況下，求解z(x,y)都比較困難，這時應當怎樣理解變量之間的關系呢？也就是在z = z(x,y)中，z的變化率是多少？
有一個關系式 g(x,y,z) = x2 + yz + z3 = 8，在點(x,y,z) = (2, 3, 1)附近觀察，如果稍微改動x和y，x和y對於z的變化有什么樣的影響？
在這里，直接解出z的表達式會很困難，需要尋找一個更簡單的方法。
先來看一下g的全微分（全微分可參考《多變量微積分4——全微分與鏈式法則》）：
由於g(x,y,z) = C = 8，所以dg = 0；或者說由於g(x,y,z) 是一個常數，g的變化率為0。在(x,y,z) = (2, 3, 1)處：
這個式子告訴我們，在等值面上變化量之間的關系，其中兩個變量改變時，第三個變量會怎樣變化。如果把z看成x,y的函數z = z(x,y)，z的變化：
z關於x的變化率就是x的偏導，此時y值不變，dy = 0：
z關於y的變化率就是y的偏導，此時x值不變，dx = 0：
一般地，如果g(x,y,z) = C，那么：
這樣任何變量的微分都可以由其它變量表示，例如z的變化：
z關於x的偏導，y是定值，dy = 0，此時：
這個結果就是當x改變時，x對於z的變化率，即：
同理：
通過這種方式，可以表達非獨立變量之間的變化。
相關變量的偏微分
有一個函數f(x,y) = x + y，現在x的偏導：
如果令x = u, y = u + v：
現在的結果有些令人迷惑了，因為x = u，所以x和u等價，但是得到的結果並不相同：
這點在《多變量微積分4——全微分與鏈式法則》中做過介紹，實際上：
這需要認真審視偏導，當計算fx時，意味着保持y不變的同時改變x；而fu意味着保持v不變的同時改變u。由於x = u，所以改變u和改變x是一樣的，但保持v不變和保持y不變並不相同。如果保持y不變，因為x = u，所以改變x的同時也意味着改變了u，所以為了保持y不變，v也勢必發生改變，從而使y = u + v不變。當保持v不變時，v = y – u = y – x，可以看出，保持v不變實際上是保持y – x不變，這和保持y不變是兩回事。這些偏導雖然看似簡單，但使用起來其實是有風險的，因為讓它們保持恆定並不是顯而易見的。
現在，我們用新的符號明確是指出誰是恆定不變的：
三角形的面積
三角形的兩邊分別是a和b，ab的夾角是θ，面積A = (absinθ)/2，可以將其看作是關於a、b、θ的函數A(a,b,θ)。假定三個變量之間存在某種約束關系，比如三角形是直角三角形，那么a = bcosθ就是變量之間的約束，現在我們想知道面積是怎樣依賴於θ的？
面積關於θ的變化率當然是面積A關於θ的偏導，問題是a,b,θ不是相互獨立的變量，直角三角形就是三者之間的約束，當θ改變時，為了維持直角，a或b也會隨之改變。下面將分情況加以說明。
1） a,b保持不變
實際上這意味着放棄直角這一約束。如果保留直角，將有兩個選擇，保持b恆定或a恆定。
2） a保持不變，θ改變時，面積的變化率是：
3） b保持不變，θ改變時，面積的變化率是：
現在需要進行一些計算，以第二種情況為例，看看面積的變化率具體是什么。
方法1）利用最簡單的代數法，這種方法僅對於簡單的約束關系有效。
方法2）微分法
如果保持a不變，意味着da = 0
這實際上是求出了b關於θ的變化率。
這個結果就是當a保持不變時，A對於θ的變化率，即：
結果中含有b是因為改變θ的同時b也將發生改變，因此b也要被看作因變量。
綜合示例
示例1
示例中的約束條件是xy = zt，可將其看作g(x,y,z,t) = xy – zt = 0，在假定x,y不變的前提下計算w關於z的變化率。
示例2
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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