什么是極值
極值不同於最值，極值的定義如下：
若函數f(x)在x0的一個鄰域D有定義，且對D中除x0的所有點，都有f(x)<f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極大值。同理，若對D的所有點，都有f(x)>f(x0)，則稱f(x0)是函數f(x)的一個極小 值。極大值和極小值也稱為局部最大值和局部最小值。
如果用圖形解釋，那么：當我們在極大值點上，向任何方向移動輸入點都會減小函數值；當我們在極小值點上，向任何方向移動輸入點都會增加函數值。
極值的概念來自數學應用中的最大最小值問題。根據極值定律，定義在一個有界閉區域上的每一個連續函數都必定達到它的最大值和最小值，問題在於要確定它在哪些點處達到最大值或最小值。極值點只能在函數不可導的點或導數為零的點上取得。
極值定律：當函數f(x)在閉區間[a,b]上是連續函數時，存在c屬於[a,b]，d屬於[a,b],有f(c)≤f(x)≤f(d),x∈[a,b]成立。
可以看出，極值是一個局部概念，我們可以說極大值是函數在某個區間內的最大值。一個函數可能有多個極值，如下圖所示，B,C,D,E均為極值點：
對於一元函數，求得極值和最值較為容易，但是對於多元函數，情況就復雜的多。這里主要介紹如何求解二元函數的極值（對於更多元函數的極值，在后續章節學習梯度后將繼續闡述），在此之前還需要弄清楚另外兩個點——臨界點和鞍點。
臨界點（駐點）
對於一個多元函數f，如果有一個點滿足f所有自變量的偏導都同時為0，那么這個點被稱為f的臨界點，也稱為駐點。
對於二元函數f(x, y)來說，臨界點(x0, y0)滿足：
示例：求f(x, y) = x2 – 2xy + 3y2 + 2x – 2y的臨界點
f(x)只有一個臨界點(-1, 0)
由於極值點只能在函數不可導的點或導數為零的點上取得，所以臨界點成為求解極值點的關鍵。現在的問題是，上面的敘述反過來並不成立，也就是臨界點未必是極值點；另一個問題是，當臨界點是極值點時，如何判斷極值是極大值還是極小值？
在此之前先來認識一下鞍點。
鞍點
既不是極大值點也不是極小值點的臨界點，叫做鞍點。
鞍點這詞來自於不定二次型z=y2-x2的圖形，像馬鞍：x-軸方向往上曲，在y-軸方向往下曲。
在z=y2-x2鞍點處，沿y軸方向向兩邊移動，函數值會減小；沿x軸方向向兩邊移動，函數值會增大：
求得極值點
現在回到最初的問題——如何尋找極值。
通過作圖尋找
最直觀的辦法是通過作圖尋找，在圖中很容易找到極值：
很明顯，凹凸處就是極值。
等高線圖同樣容易尋找極值：
在等高線圖中，極大值和極小值看起來是一樣的，需要讀出函數的數值：極小值周圍，函數值向外遞增；極大值周圍，函數值向外遞減。
通過二階偏導判定
雖然作圖法最直觀，但二元函數通常很難作圖，更多元的函數甚至無法作圖，幸而數學家們找到了一種更為通用的辦法，這就是里利用二階導數判斷。
f(x, y)的一個臨界點是(x0, y0)，即fx(x0, y0) = 0 && fy(x0, y0) = 0，f的二階導數是fxx,fxy,fyy現在，
該臨界點有如下結論：
示例
示例1
求函數f(x,y) = x3 – 3xy + y3 的極值
1) 計算偏導
2) 計算臨界點
臨界點是(0, 0)或(1, 1)
3) 計算二階偏導
4) 判斷臨界點類型
在(0, 0)處，AC – B2 = -9 < 0，(0, 0)是鞍點；
在(1, 1)處，AC – B2 = 27 > 0，A = 6 > 0，(1, 1)是極小值點，此處的極值是f(1, 1) = -1
示例2
做一個2體積單位的長方體有蓋木箱，長寬高怎樣取值才能最省料？
設木箱的長寬分別為x和y，則高是4/xy，用料的面積
計算偏導：
找到臨界點：
此時先不要急於尋找極值點，極值點可能是局部最小或最大點，我們要尋找的是全局最小點。最值可能出現在幾個點上，臨界點、函數邊界或無窮遠處。在用料面積A來說，如果x或y趨近於∞，則xy→∞，A→∞；如果x→0或y→0，則(2/x)→∞或(2/y)→∞，A→∞。因為我們確定，在體積一定的情況下一定存在最小用料，所以臨界點是極小點，同時也使全局極小點，即最小點。從這個例子中也看出，在體積一定的長方體中，以正方體的表面積最小。
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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