在一元函數中，我們已經知道導數就是函數的變化率。對於二元函數我們同樣要研究它的“變化率”。
在xOy平面內，當動點由P(x0,y0)沿不同方向變化時，函數f(x,y)的變化快慢一般說來是不同的，因此就需要研究f(x,y)在(x0,y0)點處沿不同方向的變化率。
在這里我們只學習函數f(x,y)沿着平行於x軸和平行於y軸兩個特殊方位變動時，f(x,y)的變化率。
偏導數的表示符號為:∂，全導數符號d的變體。
偏導數反映的是函數沿坐標軸正方向的變化率。
三維空間的函數
曲面
三維空間的函數可以用 z = f(x, y)表示，如果把f(x, y)中的兩個變量圖像化，將得到空間的某個曲面（三維空間的圖像很難在紙上畫出來，畫圖的工作還是交給計算機好了）：
f(x, y) = -y
f(x,y) = 1 - (x2 + y2)
等高線
平面直角坐標系中，通過(x, y)可以定位任意位置，在此基礎上，可以借助等高線描述第三個維度。
實際上我們對等高線並不陌生：
如果你在爬山，沿着等高線會從山的一點走到另一點，行走過程中海拔不變，這相當於把高度映射到了平面上：
實際上第三個維度也可以用顏色表示，比如常見的氣溫圖：
兩個不同顏色之間其實就是一個函數的等高線，把顏色換成線條就變成了地理上學過的等溫線：給定經緯度，輸出溫度，即z = f(x, y)
偏導數
什么是偏導數
現在有下圖的等高線：
很容易得出下面的結論：
當 x增大時，z增大，x減小，z減小；當 y增大時，z增大，y減小，z減小。如果試圖分析f的變化速度，就需要用到導數，只不過這次是對含有兩個變量的函數求導，也就是所謂的求偏導。
偏導中的“偏”，指僅對其中一個變量求導，而不管另外的變量（偏導是partial derviatives，partial翻譯成“部分”也許更好理解），因此，一個多變量的函數沒有通常的導數，它只有關於每個變量的偏導數。與單變量函數的導數相似，偏導數的公式：
上面就是求f(x, y)在x0和y0處的偏導。以第一個式子為例，在這里，並沒有改變y的值，僅僅改變x，然后觀察函數的變化率。
偏導數的幾何意義
偏導數表示固定面上一點的切線斜率。
在z = f(x,y)中，如果保持y不變，那么f將依賴於x的變化，這將得到一個和xz平行的平面p，p與f(x, y)平面切面的交線就是曲線f(x, y0)，偏導數f'x(x0,y0)就是交線上一點對x軸的切線的斜率，當然它也只能對x軸，此時的切線和y軸沒什么關系。如果保持x不變，就是y的偏導，偏導數f'y(x0,y0)就是交線上一點對y軸的切線的斜率。
偏導數的計算
偏導的計算和單變量導數類似，只是把其中一個變量看成常量。
兩個偏導分別將y和x看作常數。
二階偏導
二階偏導就是求偏導的偏導，過程和求偏導類似，將另一個變量看作常數：
對x的偏導表示在x方向的斜率，對x的二階偏導就是斜率的變化率，也就是斜率的變化率快慢，這同單變量函數的二階導數類似。
近似
在單變量函數中，假設一般函數上存在點(x0, f(x0))，當x接近基點x0時，可以使用函數在x0點的切線作為函數的近似線。函數f(x)≈f(x0)+f'(x0)(x- x0)即稱為函數f在x0點的線性近似或切線近似。在多變量函數中也同樣有近似的概念。關於近似的更多內容，可參考《數學筆記6——線性近似和二階近似》
對於函數f(x, y)：
偏導表示變化率，對於x的偏導，函數變化程度是fx，對於y的偏導，函數變化程度是fy，如果同時改變x和y兩個變量，變化程度就是兩個效果的累加。如果x和y同時變化了Δx和Δy，那么z = f(x, y)的值將會改變Δz：
z在f(x0,y0)附近的近似：
這就是將兩個變量同時加以擾動，從而對函數造成影響。
上面的公式在fx和fy都是0的情況下就變成了f(x0 + Δ, y0 + Δy) ≈ f(x0, y0)，這看起來不怎么好，此時就需要用到二階偏導：
z在f(x0,y0)附近的近似：
示例
示例1
為z = x2和z = (x2 + y2)1/2兩條曲線構圖。
示例2
示例3
矩形的長和寬分別是x和y，當x = 2.1，y = 2.8時計算矩形的面積。
可以很容易計算出確切的數值：
下面嘗試用偏導的近似去計算：
出處：微信公眾號 "我是8位的"
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