二重積分的幾何意義是計算物體的體積，但是在實際問題中，二重積分還可以用來計算面積和均值。
計算面積
計算面積容易聯想到單變量積分的幾何意義，但通常這是用二重積分來完成的。
給出一個平面上的區域R，求R的面積。如果使用一元積分計算，會發現這並不容易，因為一元積分的幾何意義是曲線與x軸圍成的面積，而現在是要計算閉合曲線圍成的面積。此時二元積分會比較有用。
將R區域的面積分成無數個小塊，每個小塊的面積都是dA，R的面積也就是dA之和（可參考《多變量微積分8——二重積分》）。如果用二重積分表示，R區域的面積就是函數f(x,y) = 1在R上的二重積分：
如果按照體積去思考，上式就是函數f(x,y) = 1的圖形下的體積。由於在三維坐標中，f(x,y) = 1的圖像是高度為1的水平面，所以二重積分表示底面積是AreaR，高度為1的棱柱的體積；體積等於底面積AreaR乘以高，高度是1，所以體積等於底面積。
通常我們不按照體積去思考，而是直接把∫∫RdA看成R區域的面積微元dA的總和。
考慮一個均勻的平面物理物體，比如一個金屬板，它的質量就可以用二重積分計算。平面金屬板的質量是板上每一小片質量的總和。一個平面物體的密度是每單位面積元的質量，因此可以對密度積分求平面物體質量。用Δm表示質量，ρ表示密度，ΔA表示小塊區域，則：
需要注意的是，二重積分只能處理平面，上式表示對密度做積分得到平面物體的質量。如果要計算空間物體的質量，就必須計算體積，這是三重積分的工作。
計算平均值
二重積分的另一個應用是求區域上數量的平均值，即在區域R上求函數f的平均值。
我們知道在有限數據集上求平均值的方法——用數值總量除以數值個數，比如計算一個班級學生的平均身高。如果是無限數據集的平均值呢？比如測量一個房間的平均溫度，我們通常的做法是選取一些點去測量，然后計算這些點的平均值，結果的真實度取決於測量點的個數。理論上有無限多個點，所以這種方式無法表述真正的數值。
實際上，數學上定義連續平均值的方法是對整個數據集上的函數f做積分，然后再除以這個集合的大小（也就是區域R的面積）：
上式可以看作所有點處f值的和除以所有點的個數，前提是各點的權重一致，也就是等權平均值。
如果是加權平均，還需要在積分內乘以權重系數：
其中δ權重系數，如果f是關於x和y的函數，那么δ也應當是關於x和y的函數，也就是每一個f(x,y)都有對應的δ(x,y)。
示例
如下圖所示，在直角坐標系下有平面一個物體，該物體的密度是ρ = xy，求該物體的質量和質心位置。
由於是平面物體，其質量是面積的積分；由於物體是不均勻的，所以還需要乘以權重：
在x方向上的質心：
由於該物體是關於y=x對稱的，所以y方向上的質心也是2/3
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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