二重積分的幾何意義是計算物體的體積,但是在實際問題中,二重積分還可以用來計算面積和均值。
計算面積
計算面積容易聯想到單變量積分的幾何意義,但通常這是用二重積分來完成的。
給出一個平面上的區域R,求R的面積。如果使用一元積分計算,會發現這並不容易,因為一元積分的幾何意義是曲線與x軸圍成的面積,而現在是要計算閉合曲線圍成的面積。此時二元積分會比較有用。
將R區域的面積分成無數個小塊,每個小塊的面積都是dA,R的面積也就是dA之和(可參考《多變量微積分8——二重積分》)。如果用二重積分表示,R區域的面積就是函數f(x,y) = 1在R上的二重積分:
如果按照體積去思考,上式就是函數f(x,y) = 1的圖形下的體積。由於在三維坐標中,f(x,y) = 1的圖像是高度為1的水平面,所以二重積分表示底面積是AreaR,高度為1的棱柱的體積;體積等於底面積AreaR乘以高,高度是1,所以體積等於底面積。
通常我們不按照體積去思考,而是直接把∫∫RdA看成R區域的面積微元dA的總和。
考慮一個均勻的平面物理物體,比如一個金屬板,它的質量就可以用二重積分計算。平面金屬板的質量是板上每一小片質量的總和。一個平面物體的密度是每單位面積元的質量,因此可以對密度積分求平面物體質量。用Δm表示質量,ρ表示密度,ΔA表示小塊區域,則:
需要注意的是,二重積分只能處理平面,上式表示對密度做積分得到平面物體的質量。如果要計算空間物體的質量,就必須計算體積,這是三重積分的工作。
計算平均值
二重積分的另一個應用是求區域上數量的平均值,即在區域R上求函數f的平均值。
我們知道在有限數據集上求平均值的方法——用數值總量除以數值個數,比如計算一個班級學生的平均身高。如果是無限數據集的平均值呢?比如測量一個房間的平均溫度,我們通常的做法是選取一些點去測量,然后計算這些點的平均值,結果的真實度取決於測量點的個數。理論上有無限多個點,所以這種方式無法表述真正的數值。
實際上,數學上定義連續平均值的方法是對整個數據集上的函數f做積分,然后再除以這個集合的大小(也就是區域R的面積):
上式可以看作所有點處f值的和除以所有點的個數,前提是各點的權重一致,也就是等權平均值。
如果是加權平均,還需要在積分內乘以權重系數:
其中δ權重系數,如果f是關於x和y的函數,那么δ也應當是關於x和y的函數,也就是每一個f(x,y)都有對應的δ(x,y)。
示例
如下圖所示,在直角坐標系下有平面一個物體,該物體的密度是ρ = xy,求該物體的質量和質心位置。
由於是平面物體,其質量是面積的積分;由於物體是不均勻的,所以還需要乘以權重:
在x方向上的質心:
由於該物體是關於y=x對稱的,所以y方向上的質心也是2/3
作者:我是8位的
出處:http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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