多變量微積分筆記19——直角坐標系和柱坐標系下的三重積分

三重積分

　　三重積分由平面轉到了空間，但本質上與二重積分一致。f(x,y,z)是空間函數，對應的三重積分是：

 

　　其中R區域是f在定義域范圍內的圖形的體積，dv是體積積元。在二重積分中，面積積元dA = dydx，三重積分的體積積元dv = dzdydx。

　　考慮計算兩個曲面z = x² + y² 和z = 4 – x² – y² 圍成的圖形的體積。注意這里沒有給出被積函數，兩個曲面表示了積分域。

　　用三重積分表示所求體積，並用z作為最內層積分：

 

　　上式處理了z軸，剩下的是dydx，這就和二重積分一樣了。現在需要關注的是所求曲面在xy軸上的投影，找出投影的邊界值。

　　從兩個曲面的方程可知，投影是圓，x和y的取值范圍就是圓內的所有點，問題是如何求得圓的方程？

　　還是從所求曲面的圖形入手，在這個曲面中z的范圍已知，就是z軸的積分域：

　　這就是x,y的取值范圍，也就是半徑為sqrt(2)的圓內的所有點。用二重積分表示圓的面積：

 

　　將Area和並到三重積分中：

 

　　實際上對dz的積分是曲面的高度，dydx是面積，三重積分可以看做二者的乘法。

　　計算過程和二重積分類似，由內而外逐一計算：

 

柱坐標系

　　繼續計算上一節的三重積分將得到復雜的式子，更好的方法是使用極坐標。首先保持dz不變，將dydx替換成極坐標（可參考《多變量微積分筆記9——極坐標下的二重積分》）：

　　這種更簡單的方法就稱為柱坐標法。柱坐標的基本思想是在空間中建立一個點，用極坐標代替它的xy坐標，(r, θ, z)代替(x, y, z)，如下圖所示：

　　在柱坐標系中，積分將轉換成：

綜合示例

示例1

　　計算單位球和z > 1 – y所圍的曲面的體積。

　　將上圖轉換為“簡筆畫”——轉換為平面坐標系：

yz坐標系

　　容易得到z的積分域：

 

　　現在的問題是xy軸的投影是什么，即xy的積分域是多少？

　　由z的積分域可以得到不等式方程：

 

　　已知0 < y < 1，所以：

 

示例2

　　計算z = x² + y² 和z = 2y所圍的曲面的體積。

　　Z的積分域：

 

　　可見xy軸的投影是圓。由此可以使用柱坐標系：

　　xy轉換為極坐標后，0 ≤ θ ≤ π，r_min = 0，r_max是r關於θ的函數。

　　關於三角函數的積分計算可參考《數學筆記20——三角替換1（sin和cos）》

 

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作者：我是8位的

出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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