球坐標系是三維坐標系的一種，用以確定三維空間中點、線、面以及體的位置，它以坐標原點為參考點，由方位角、仰角和距離構成。球坐標系在地理學、天文學中都有着廣泛應用。
球坐標系
球坐標中是這樣表示空間中一點的：用ρ表示點到原點的距離，0 ≤ ρ≤ +∞；在ρz平面上，從z軸正半軸向ρ偏轉的角度是φ，0 ≤ φ≤ π；從x軸偏轉到平面的角度是θ，0 ≤ θ≤ 2π，如下圖所示：
被稱作球坐標的原因是，如果固定了ρ=a作為半徑，通過移動ρ就可以得到一個球面，φ就是ρ的南北朝向，0°≤ φ < 90°，ρ朝北，90°<φ≤ 180°，ρ朝南：
如果將上圖看作地球，φ和緯度相似，都是衡量點到南北極點的距離。當然，在具體度量上有所差別，地理上赤道是0°緯線，然后向兩極遞增；球坐標的φ從北極點出發，向南極遞增，赤道位置是90°。θ和經度類似，用來衡量東西方位，因此可將x軸正半軸的指向看作本初子午線，也就是0°經線，由於球坐標中θ的取值是[0, 2π],所以只有東經沒有西經。
也可以通過柱坐標來理解球坐標（關於柱坐標，可參考《多變量微積分筆記19——直角坐標系和柱坐標系下的三重積分》）：
球坐標到柱坐標的互相轉換相當於rz平面的極坐標表示法：
以上是球坐標系的所有公式，實際上只要記住圖形就可以了。
如果僅定義了ρ和φ，相當於向量繞着z軸旋轉；特別地，當ρ從原點出發繞z軸旋轉，將形成一個圓椎體，如下圖所示：
如果φ=π/2，則變成扁平的高度為0的圓錐——xy平面的圓。
球坐標系的積分
想要計算三重積分，就需要知道體積積元dv，在球坐標系中dv需要轉換成dρdφdθ，那么三者的順序，也就是面積積元應當是什么？
嘗試用dφdθ作為面積積元，如下圖所示：
ΔS是三維空間中物體便面積的微小面積塊，在球坐標系中，當Δφ和Δθ足夠小時，ΔS的兩邊p和q可以看作以O和O’ 為圓心的圓的微小弧長，兩個圓互相垂直。如果兩個圓的半徑分別為r和a，則：
Δρ是ΔV的厚度積元，對於球坐標來說，a = ρ：
通常按照dρdφdθ的順序計算最為簡單。
綜合示例
示例1
計算單位球和z = 2-1/2所圍的區域的體積：
嘗試使用球坐標處理，積分很簡單：
問題轉換成確定ρφθ的取值范圍。因為是球體，很明顯θ的取值范圍就是[0, 2π]。通過球體的切面圖形確定其余兩個積元的取值：
切面左右兩側對稱，只需要觀察一側即可。φ是直角三角形的一角，隨着ρ的滑動，φ的取值將是[0, π/4]。無論φ怎樣取值，ρ的最大值都在球面上，所以ρ的最大值是1。當φ=0時，ρ在z軸上，此時ρ的最小值是2-1/2。這里很容易將ρ的取值誤判為[2-1/2, 1]，這需要用下圖解釋：
ρ向z軸方向旋轉，此時φ減小，ρ的最大值始終位於球面，最小值是ρ與平面的交點處，所以ρ與φ有關。當ρ取最小值時，z始終是2-1/2，通過球坐標的公式可知：
最終：
分步計算（三角函數的積分可參考《數學筆記21——三角替換2（tan和sec）》）：
示例2
立體區域D是圓心在(0, 0 , 1)的單位圓的上半球，計算D的體積和圓點到D的平均距離。
根據球的圖體積公式：
現在使用積分去計算。和示例1一樣，很容易確定θ的積分域是[0, 2π]。通過zx軸的截面確定φ的積分域：
上圖可以看出，φ的最大值是π/4，φ的積分域是[0, π/4]。ρ的取值如下圖所示：
可以看到，ρ的積分上下限都不固定，它們隨着φ的變換而改變，Max點是(x,y,z)，其中：
現在的問題是如何求得ρ的積分上限？求解方式是從幾個已知條件和極坐標的公式中讓ρ變成θ和φ的函數：
最終：
又是一個冗長的三角換元，分步計算如下：
球的體積也可以使用一元積分的圓盤法球的，可參考《數學筆記17——定積分的應用2（體積）》。
在《多變量微積分筆記10——二重積分的應用》中介紹過均值問題，三重積分與之類似，距離的均值相當於在D區域內對ρ進行積分處理：
作者：我是8位的
