線積分或路徑積分是積分的一種。在數學中，線積分的積分函數的取值沿的不是區間，而是特定的曲線，稱為積分路徑。在物理學上，線積分是質點在外力作用下運動一段距離后總功。
線積分
在物理學上，力所做的功等於力與位移的乘積；更嚴格地說，力在足夠小的距離上做的功等於力的向量與位移向量的點積：
功描述是需要多少能量才能使質點以這樣的方式運動。
如果外力不是恆力，要算出外力所做的總功，就是把運動軌跡分成無限小段，然后把外力對每一小段所做的功（也就是力的向量和距離的向量的點積）加起來，其本質上就是積分。
假設C是外力作用下運動的軌跡，那么外力在該軌跡上做的總功：
然而這種方式不利於計算，因為無法對向量進行積分。現在將位移變成瞬時速度和微小時間的乘積：
這表示在每個微小的時間段內，質點移動了微小的距離。W可以解釋為從t1到t2時間內，質點在外力的作用下移動了一段距離，在這段距離上力所做的總功：
這種方式將無法計算的向量積分變成了可計算的非向量積分。
向量場中的線積分
已知外力和外力作用下的運動軌跡，力場F = -yi + xj，運動軌跡C：x = t, y = t2, 0 ≤ t ≤ 1，計算力在該軌跡上做的功。
在這里，F是外力，C是在F作用下的運動軌跡，由運動軌跡的參數方程可知，y = x2，這相當於在外力F的作用下運行了一段拋物線：
上圖中紅色向量就是在外力F作用下運動的軌跡C，為了理解方便，將t看成時間（可參考《線性代數筆記6——直線和曲線的參數方程》）。F在C上的總功：
另一種方式理解，F和r都有兩個分量：
這里存在兩個變量，但是單變量積分無法對兩個變量做積分，所以需要用另外一個變量t替換x和y：
需要注意的是，線積分只取決與軌跡C，而不是如何參數化，我們可以保留任何一個參數，對於本例來說，y = x2，可以去掉變量y：
幾何法計算線積分
再來看一下幾何方法：
如上圖所示，曲線是質點運動的軌跡，Δr是在外力F = Mi + Nj作用下移動的微小距離，它是一個向量，與曲線相切；T是Δr方向的單位向量；ΔS是軌跡上對應的弧長，是一個標量。
如果是瞬時速度，相當於位移關於時間的微分：
外力在軌跡上C上做的總功：
F與T的點積是標量，這就將不能積分的dr轉換成了可積的ds。
示例1
幾何法對某些問題的處理會更簡單：質點在力場F = xi + yj中沿以原點為圓心，a為半徑的圓做逆時針圓周運動，對於圓上的任一點，都存在T⊥F：
如果用參數方程處理，對於圓來說x2 + y2 = a2，可以用θ替換x和y：
示例2
如果力場變為F = -yi + xj，則在軌跡上的任意點，F平行於T：
C是沿着圓的運動軌跡，ds是軌跡上微小的弧長，所以弧長的積分等於軌跡長度len(C)。如果運動一周：
綜合示例
示例1
在向量場F = <xy, x2 + y2>中，計算線積分∫cFdr
a)
b)
a)
根據軌跡參數化：
b)
C1軌跡上，x = 1不變，dx=0，1 ≤ y ≤ 4：
C2軌跡上，y = 4不變，dy=0，1 ≤ x ≤ 2：
示例2
在向量場F = <xy, x2 + y2>中，C的軌跡函數是y = x2，從(1,1)到(2,4)。用兩種參數方程計算線積分∫cFdr，1) x = t，y = t2 2) x = et，y = e2t
1)
2)
示例3
如下圖所示，在向量場F = yi + xj中，質點移動的軌跡是C1→C2→C3，三段軌跡圍成了閉合的扇形，扇形的半徑是1，弧度是 π/4，求力場中對質點的總功。
C1的軌跡在x軸，從(0,0) 到 (1,0)，y = 0保持不變：
C2的軌跡在是單位圓的一段弧長，可以參數化x,y參數：
C3的軌跡從(21/2/2, 21/2/2)到(0,0)，將其看作t時間內的位移，參數化后：
在這里我們注意到x = y，所以可以進一步參數化：
因為質點是從(21/2/2, 21/2/2)到(0,0)，所以參數替換后的積分域的上限是0，下限是21/2
在力場中的移動所做的總功為0，從圖中看，就是從起點出發，最終回到了起點。
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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