場論理論包括多種形式，比如簡單的向量場，而梯度場則是由數量場所得到的矢量場，它的定義與坐標系的選擇無關。梯度場在微分學、積分學以及算子的定義方面起着重要的作用。梯度場在物理學中也稱為保守場，這來源於能量守恆定律。
梯度場與勢函數
f(x, y)是關於x和y的函數，如果存在向量場F = ▽f，也就是向量場F是f 的梯度，那么稱F是梯度場，f是梯度場F的勢函數。
線積分的基本定理
單變量微積分的基本定理告訴我們，對原函數的導數積分會得到原函數。相應地，線積分的基本定理是這樣描述的：如果對一個函數的梯度做線積分，就能得到原函數。
線積分的基本定理告訴我們，如果沿一條曲線對一個函數f的梯度做積分，即對一個梯度場做積分，計算結果將會是f在P1點的值減去f在P0點的值：
需要注意的是，上式僅在梯度場中成立（下一章將具體介紹如何確定一個場是否是梯度場）。
根鏈全微分(可參考《多變量微積分4——全微分與鏈式法則》)：
這就和單變量微積分的基本定理一致。
定理的證明
將x和y參數化，C是在 t 時間內移動的軌跡：
定理的應用
在上一章《線積分》中有這樣一個示例：
如下圖所示，在向量場F = yi + xj中，質點移動的軌跡是C1→C2→C3，三段軌跡圍成了閉合的扇形，扇形的半徑是1，弧度是 π/4，求力場中對質點的總功。
上一章花了比較大的力氣計算總功，有了基本定理，就可以使計算簡化。很容易看出，F = yi + xj是一個梯度場，它的勢函數是f = xy，所以：
獨立路徑
線積分基本定理的一個重要結論是獨立路徑：在梯度場中，如果需要計算一個線積分，無論怎樣的路徑，積分值都只跟起點和終點的值有關。在梯度場中，下圖三條路徑的線積分是等價的。
對於閉合區間，可以用一個新的積分符號表示，以此強調閉合：
閉合的獨立路徑
在保守場中，如果C是閉合曲線，那么沿C所做的功是0；相反，如果不是保守場，那么一定存在某個地方，沿着閉合曲線所做的功不為0。反過來說，如果在一個向量場中，沿着某條閉合曲線做的功為0，這並不足以說明這個向量場是保守場，還必須強調是任意閉合曲線。
綜合示例
梯度場的勢函數是f(x,y) = x5 + 3xy3，質點運動的軌跡C是半徑為1的半圓，計算C在梯度場中的線積分。
嘗試使用3中方法。
1.根據線積分基本定理：
2.根據獨立路徑，下面兩個曲線的線積分相等：
在直線軌跡中，y = 0，dy = 0
3.使x和y參數化：
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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