多變量微積分筆記15——梯度場和勢函數

梯度場的判別

　　如果一個向量場F = Mi + Nj是一個梯度場，它的勢函數是f(x,y)，則：

  

　　所以說，對於一個在平面內處處有定義且處處可導的向量場F = Mi + Nj，如果存在M_y = N_x，那么這個向量場是梯度場。

示例1

　　對於F = -yi + xj，用上面的判別法驗證：

　　所以F = -yi + xj不是梯度場。

示例2

　　F = (4x² + axy)i + (3y² + 4x²)j，a是一個常數，當a 的值是多少時，F是梯度場？

找出勢函數

　　在上面的示例中，F = (4x² + 8xy)i + (3y² + 4x²)j是梯度場，那么如何找出它的勢函數？在簡單的梯度場中可以使用猜測法，但這並不總是管用，必須尋找到系統性的解決方案。

線積分法

　　在梯度場中線積分的軌跡C從原點開始，終點是(x₁, y₁)：

　　根據獨立路徑的原理，梯度場中的線積分只和起點終點有關，和路徑無關，所以可以尋求更簡單的計算方法：

　　根據線積分基本定理：

　　f(0,0)是一個常數，所以：

　　現在：

　　將x和y的下標去掉，就得到勢函數：

　　這里C是一個常數，說明f是一個勢函數族，就像不定積分要加上常數C一樣。

　　驗證：

不定積分法

　　梯度場中的勢函數 f 滿足：

　　根據微積分基本定理，導數的積分等於原函數，這里將y看作常數，對f_x求x的積分：

 

　　由於f_x是偏導，所以積分最后並不是加上常數C，而是一個關於y的函數g(y)。

　　需要注意的是，g(y)中一定不會含有x，只有這樣，在求f_x時g(y)才能等於0。

綜合示例

示例1

　　判斷平面向量場是否是保守場：

　　保守場的前提是，場處處有定義且處處可導，這里的場在x = y = 0處沒有定義，所以可以直接判定不是保守場。

　　也可以費點力氣驗證，C是單位圓：

　　所以F不是保守場，如果繞單位園一周：

示例2

　　向量場中b是一個常數，

 

　　當b = ? 時該向量場是一個梯度場？梯度場的勢函數是什么？

　　線積分法求解勢函數：

　　不定積分法求解勢函數：

 

　　選用f_y求y的積分,因為看起來更簡單一點：

 

　　可以看到，不定積分法要比線積分法更有效率。

 

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　　 作者：我是8位的

　　出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey

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