向量場 vector field（矢量場）是由一個向量對應另一個向量的函數。向量場廣泛應用於物理學，尤其是電磁場。
建立坐標系(x,y,z)。空間中每一點(x0,y0,z0)都可以用由原點指向該點的向量表示。因此，如果空間在所有點對應一個唯一的向量(a,b,c)，那么時空中存在向量場F: (x0,y0,z0)→(a,b,c)
空間向量場
空間向量場與平面向量場類似，在空間中的每個點都有一個向量，它由三個分量PQR表示，這三個分量都是x,y,z的函數：
畫出平面向量場已經很難，所以通常不要求畫出空間向量場，但我們應當知道空間向量場中向量大致的朝向，是發散還是指向原點。空間向量場有着廣泛的應用，比如萬有引力場，空間中的流體場。
假設一個空間力場由一個指向原點的向量場給出，向量的大小與其到原點的距離的平方成反比，向量場如下圖所示：
其中：
空間中的通量
在《多變量微積分筆記17——通量》介紹了平面向量場中的通量，它度量了單位時間內流體通過曲線的量；空間中的通量與之類似，只不過在三維空間內流體通過的是一個面而不是一條曲線，通量由流體通過的表面積來度量，所以要用面積分而不是線積分。
如上圖所示，曲面處於三維空間的向量場F中，在每個點上都會產生不同的向量，通量就是F在法向量方向的分量。在平面的每一個點上，平面的法向量都有兩個，這需要規定其中一個法向量的方向為正方向。對於面積小塊ΔS來說，其通量就是單位時間內通過ΔS的流體的量：
其中F·n就是F在單位法向量n方向的分量，之所以使用dS而不是dA代表面積積元，是因為我們習慣於把dA看成平面坐標中的面積。當向量與曲面相切時，通量為0，此時沒有流體流過曲面。
在平面的通量中，用dy,-dx來化簡nds：
在空間中，用向量dS化簡ndS，使向量dS與曲面垂直，其模長與面積積元有關：
面積分
球面積分
在以a為半徑的球面內，求向量場F = <x,y,z>的通量。
F是從原點向外散射的，所以球面的法向量與F平行，根據公式：
現在需要找到正確的α，使得n變成單位法向量。來看球的xy剖面圖：
由上圖可見：
現在，在球面上，F在單位法向量n方向的分量：
也可以以點積的方式計算：
最終：
仍然是同樣的球體，現在向量場變成了 H = <0,0,z>，重新計算通量：
問題轉換為如何求解二重積分，這就需要知道dS是什么以及如何將dS和z參數化。在《多變量微積分筆記20——球坐標系》中介紹了球坐標，現在我們可以用球坐標化替換x,y,z：
需要注意的是，由於這里計算的是面積分且dS並不在xy平面，所以無法用dxdy代替dS；但有時候，根據場景的不同，可以用dxdy代替dS，比如求水平面z = a在場中的通量。這里的關鍵就是明確dS究竟是什么，如果平面平行於yz軸，那么dS = dydz。
總結一下，如果在向量場中存在一個以原點為球心，以a為半徑的球，那么：
n的正負號取決於單位法向量的方向。
柱面積分
現在來看看柱體的面積分。下圖是軸心在z軸，半徑為a的柱體：
n與xy平面平行，所以n在z方向上的分量是0，因此：
綜合示例
示例1
a) 計算空間向量場F = <0, 0, 1>中，x2 + y2 = 1的通量。
b) 計算空間向量場F = <0, 1, 0>中，在xz平面的單位正方形的通量。
a)
很明顯x2 + y2 = 1是一個以z軸為軸心的無限柱體；向量場中的所有向量都與xy平面垂直，沒有xy方向的分量，所以 x2 + y2 = 1的通量是0。
如果計算的話：
b)
向量場中的所有向量都垂直於xz平面，也就是與正方形的法向量方向相同，所以：
示例2
如下圖所示，求在向量場F =<z,x,y>中1/4柱面向外的通量。
從柱面很自然聯想到柱坐標系，在柱坐標系中：
示例3
如下圖所示，求在向量場F =<xz,yz,z2>中半徑為a的1/4球體在第一象限向外的通量。
在球坐標系中：
作者：我是8位的
