在上一章中，我們知道了怎樣計算球面和柱面的通量，但是很多時候，空間的曲面不容易用球坐標或柱坐標表示，此時怎樣計算通量？
曲面S的通量
上一章提到，在空間向量場F中有一個曲面S，S的通量是：
我們使用不同的方法在各種情況下得到面積積元dS和單位法向量n，比如在球面和柱面中使用球坐標和柱坐標。但是對於其它曲面應當如何處理？如下圖所示，假設S是 z = f(x,y)的圖像，如何計算在向量場中S的通量？
現在將S投影到xy平面，如下圖所示：
ΔS和ΔR是S和R上的小矩形，其中ΔR是ΔS的投影，Δx和Δy分別是ΔR的兩邊。當然，由於S可能是彎曲的，ΔS也會稍有彎折，但當其足夠小時，大體上是個矩形。為了不至於太過混亂，下圖將ΔS和ΔR放大並單獨展示：
ΔR的一個頂點的值是(x,y,0)，它在ΔS上對應的點是(x,y,z)。將ΔS的兩個臨邊用向量u和v表示，它們的叉積就是ΔS的面積：
上式將單位向量化簡為dS，而叉積除了表示面積大小外，也表示了方向信息。現在，問題轉換為計算u × v。
已知v的起點是(x,y,z)，終點是(x, y+Δy, z+Δz)，其中：
同理：
最終得到通量計算公式：
正負號取決於法向量的方向。因為等式右側已經變成了xy平面的二重積分，所以出於習慣，積分域由S變成了R。
曲面的積分域
如下圖所示，求F = zk通過z = x2 + y2在單位圓上方曲面的通量。
現在問題轉換為如何求得曲面的積分域，從而使上式變成普通的二重積分。這需要借助曲面在xy平面的投影，在本例中，曲面的投影恰好是單位圓，可以使用極坐標處理：
示例
函數z = x2 + y的一塊區域中在xy平面的投影是單位正方形，並起這塊區域滿足z > 0，計算該區域在場F = zi + xk中的通量。
如果是求向上的通量，根據公式：
作者：我是8位的
