在二重積分中，極坐標替換是一種特殊情況，更一般的變量替換后的面積元是通過雅可比行列式來關聯，替換后的積分域也會隨之變動。
變量替換
二重積分可以計算面積，現在有一個橢圓 (x/a)2 + (y/b)2 = 1，如何計算該橢圓的面積？
很容易寫出Area = ∫∫Rdxdy，積分區域是(x/a)2 + (y/b)2 = 1，現在的問題是如何計算的內外積分的積分域？這當然可以通過代數法轉換，將x寫作y的表達式，但這個復雜的表達式多少會有些尷尬。橢圓也不能輕松地轉換為極坐標，因為r的上限也是變化的。
現在嘗試一種新的方案，如果令u = x/a， v = y/b，則橢圓將轉換為 u2 + v2 = 1，退化成圓。對u和v計算微分：
變量替換的主要目的是簡化被積函數或積分域，從而更容易地求得積分。
變量的變化率
上面方法將原變量表達式轉化為一個新的簡單變量，從而求得結果，其中最重要的步驟是求得dxdy和dudv之間的關系，那么對於更復雜的情況，這種方法還能否適用？
假設出於某種目的，我們做了這樣的變換：u = 3x – 2y，v = x + y。現在dA是xy坐標系的面積積元，dA = dxdy；dA’ 是uv坐標的面積積元，dA’ = dudv。二重積分的思想是ΔA的面積乘以ΔA的函數值從而得到小柱體，再把這些小柱體相加，但是變換成uv坐標后，ΔA’的面積並不等於ΔA的面積：
ΔA≠ΔA’
這實際上是線性變換，用一個簡單的方法說明，讓ΔA是小正方形，Δx = Δy = 1，變換后將得到一個平行四邊形：
可以利用叉積求得ΔA’ 的面積：
由此可見，ΔA’ = 5ΔA。
值得注意的是，如果將Δx和Δy代入u和v，得到Δu = 3Δx – 2Δy，Δv = Δx + Δy，由於變換后的圖形並不是正方形，所以ΔA’ ≠ ΔuΔv，ΔA’ 是平行四邊形兩條邊的向量的叉乘：
至此，我們確定了dxdy和dudv之間的關系：
雅可比行列式
如果二元積分的被積函數f(x,y)中的變量被替換為u = u(x, y)，v = v(x, y)，那么u和v的微小改變，是輕輕擾動x和y的綜合結果：
如果用矩陣表示：
這實際上說明，對於線性變換，小矩形將轉換為平行四邊形，面積的放縮比例就是偏導的行列式。如果A = ΔxΔy是一個頂點在原點的矩形：
由於這個行列式的結果和轉置后結果一致，所以放縮的倍數就是之①的矩陣行列式。這個行列式被稱為雅可比行列式，用數學符號表示：
雅可比行列式描述了從xy坐標到uv坐標后，面積積元的變換比率。需要注意的是，雅可比行列式需要加上絕對值，因為行列式可能出現負值，但面積一定是正的。
用雅可比式驗證極坐標
在《多變量微積分9——極坐標的二重積分》中提到過，從xy坐標轉換到極坐標后，面積積元的變換率是 dxdy = rdrdθ：
用雅可比式轉換，注意此處是用x和y替換r和θ：
這再一次說明數學是可以互相佐證的，高級理論可以證明低級理論，低級理論又可以為高級理論的提供推導步驟。
變量替換后的積分域
用變量替換計算下面的積分：
如果不使用變量替換，直接計算結果：
在試用變量替換時，首先使用雅可比式計算dudv和dydx之間的比率，然后轉換被積函數：
現在的主要問題是轉換后的積分域。先來看xy坐標系，由於積分域0 < x < 1，0 < y < 1，所以積分的范圍就是一個正方形：
現在需要找出u和v是如何變化的。
在原坐標系計算積分域
可以這樣思考，對於∫∫vdudx，先計算內積分，也就是先對u積分，把v看作常量，u看作變量，也就是把v = xy看作常量，u = x看作變量。把v = xy看作常量，意味着xy = C是一個雙曲線：
如果v的值固定，那么v就是雙曲線上的一點。對於不同的v，能取到不同的雙曲線：
把雙曲線加入到正方形中：
現在u = x是變量，v = xy是常量，這意味着當x變化時，就是在其中一條雙曲線上移動。對於∫∫vdudx，我們首先回答的問題是當v固定時，u是積分域是什么？
如上圖所示，在離開積分域時，u = x = 1；在進入積分域時y = 1，所以：
現在完成了內積分。對於外積分來說，就是在正方形區域內雙曲線族所能達到的最大值和最小值：
通過坐標變換計算積分域
還可以通過坐標系變換的方式計算積分域。xy坐標系在轉換成uv坐標系時，有4條邊需要解釋：
x = 0和x = 1轉換后：
y = 1，轉換后，v = xy = x = u；y = 0，轉換后v = 0：
轉換后的積分域就是三角形圍成的面積。
如果以u為外積分，v為內積分，可以確定0 < u <1，v的取值如下圖所示：
可以看到，轉換前后的計算結果相同。
綜合示例
示例1
用變量替換計算積分∫∫R(4x2 – y2)4dxdy，u = 2x – y，v = 2x + y，R區域如下圖所示：
雅可比行列式：
為了計算R’，嘗試將xy坐標系轉換為uv坐標系，只需要對邊和點進行解釋：
對比兩個三角形，R的面積R = 1/2(2 * 1/2) = 1/2；R’的面積R’= 1/2(2 * 2) = 2；R’ = 4R，坐標轉換后面積放大了4倍，這也驗證了雅可比表達式，dudv = 4dxdr 。
三角形的斜邊是u = -v，現在可以很容易得出轉換后的積分域：
示例2
計算變量替換后的積分域。
∫∫R1/x2dxdy變量替換u = x2 – y2，v = y/x，xy坐標系的R區域中第一象限，在y=1/x下方，x2 – y2=1上方，如下圖所示：
轉換坐標系后，u = x2 – y2 = 1：
坐標系轉移后：
設兩條曲線的交點是(1,a)，可知積分域：
雅可比行列式：
現在需要用uv代替1/x2：
作者：我是8位的
出處：http://www.cnblogs.com/bigmonkey
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