多變量微積分筆記5——梯度與方向導數

本文轉載自查看原文 2018-02-02 10:07 4491 方向導數/ 多變量微積分/ 梯度

　　梯度一詞有時用於斜度，也就是一個曲面沿着給定方向的傾斜程度。

　　梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。

　　在單變量的實值函數的情況，梯度只是導數，或者，對於一個線性函數，也就是線的斜率。

　　本篇涉及到的一些知識點可參考下面的鏈接：

梯度的定義

　　如果w = w(x, y, z), x = x(t), y = y(t), z = z(t)，根據上篇介紹的鏈式法則：

　　如果設▽w 是一個綜合了w所有偏導數的向量，dr/dt是w變化速率的向量（速度向量），即：

　　這樣原式就可以簡寫為▽w和dr/dt的點積：

　　▽w就是梯度向量，簡稱梯度。對於函數w定義域上的任意x, y, z，都可以得到一個對應的梯度向量，所以也說▽w是w在某一點(x, y, x)上的梯度。由定義可以看到，梯度包含了偏導和導數的信息。

梯度垂直於等值面

　　梯度的一個重要性質是：如果令w是一個常數，則梯度向量垂直於原函數的等面值。

　　在平面直角坐標系中，對於圓的方程w(x, y) = x² + y² = C，w = C，在w上的任意一點(x, y)做梯度向量：

　　w⊥等值線,即對於任意(x, y)的梯度▽w，都有▽w⊥w(x, y)

　　對於多元函數也是如此，此時梯度是垂直於函數等值面的空間向量。

　　先來看最簡單的線性方程，w(x, y, z) = a₁x + a₂y + a₃z，假設它的等值面是a₁x + a₂y + a₃z = C，此時w的梯度：

　　a₁x + a₂y + a₃z = C的法向量也是< a₁, a₂, a₃>，所以對於平面來說，法向量就是梯度向量。

　　對於更復雜的三元函數，每個梯度都垂直於相應的等高線：

垂直的原因

　　可以通過三元函數對梯度垂直於等值面加以證明。

　　三元函數的等值面w(x, y , z) = C是一個曲面，等值面上的一條曲線向量是r = r(t)：

　　對於等值面上的曲線來說，它的速度向量：

　　如果點在w上移動，在任一點上的速度向量v和曲線r相切；由於r在w上，所以速度向量v與曲面w相切。

　　鏈式法則告訴我們w的值是由w的梯度向量和速度向量的點積決定的：

　　由於w是等值面，所以：

　　由於點積為0，所以▽w⊥v。對於任意方向的速度向量v，它們都源於同一點P，並且將共同組成一個曲線在該點的切平面，▽w垂直於這個切平面，也就是▽w在 P點與等值面垂直。

　　從上面的論述得知，梯度向量垂直於函數在某點的等值面，等同於梯度垂直於在該點處的切面，梯度向量就是切平面的法向量。由此我們可以根據某點的梯度求得函數在該點處的切平面。

找出切平面

　　示例：找出x² + y² – z² = 4在(2, 1, 1)處的切平面

　　這相當於 w(x, y, z) = x² + y² – z²在w = 4時的等值面。在(2, 1, 1)點處：

　　也就是切平面的法向量是<4, 2, -2>，切平面是：

4x + 2y – 2z = C

　　將(2, 1, 1)代入切平面后，C = 8，最終得到切平面：

2x + y – z = 4

　　下圖就是這個不怎么好看的三維圖形：

方向導數

什么是方向導數

　　方向導數是梯度向量的重要應用。

　　w = w(x, y)的偏導w_x和w_y衡量了點在x軸和y軸移動時w的變化，那么如果在其它方向移動呢？是否在任意方向上都有一個導數呢？答案是肯定的，那就是方向導數。

幾何意義

　　對於w(x, y)來說，偏導的幾何意義是平行於x軸或y軸方向的垂直平面上截線的斜率。類似的，方向導數就是某一方向上垂直平面截線在該方向的斜率，如下圖所示：

　　P1和P2點沿着u方向切線的斜率就是這兩點在u方向上的方向導數。

計算方向導數

　　點沿着x軸或y軸移動會產生一系列向量，如果沿着其它方向——例如某個單位向量u的方向——移動會如何？也就是給出一個單位向量u，沿着u的方向移動，函數值的會變化有多快？如下圖所示，z = w(x, y)是一個多元函數，在某點(x, y)處開始，有一個單位向量u，問題是：當w上的對應點沿着u的方向變化時，函數w的值變化的有多快？

　　先來看看直線的軌跡。如果以單位速度沿着u的方向運動，設s是運動的距離，軌跡向量r是點運動的軌跡，因為是直線，所以s = |r|。現在設軌跡向量r是關於運動距離的函數，r = r(s)，那么r的變化率是單位向量u，也就是r的導數dr/ds = u。

　　我們真正關注的是沿着r的方向運動時，w的變化率是什么？也就是說，我們從一點開始，沿着某個方向改變變量（不一定是x或y的方向，可以是任意方向，比如這里r的方向），它的方向導數是什么？也就是dw/ds = ？

　　u是和r同向的單位向量，現在將u作為下標代入dw/ds，表示沿u方向移動的導數：

　　這就是在u方向上的方向導數的公式。

　　如果把u寫成兩個方向的分量，u = <a, b>，u方向上的方向導數實際上也是梯度向量▽w在u方向上的分量：

　　例如在x軸方向的方向導數，就等於x軸方向的分量，設x軸方向的單位向量是i，則：

　　根據點積的定義，兩個向量的點積等於這兩個向量的模的乘積乘以二者的夾角余玄，這可以得到方向導數的第二個公式：

　　最終，方向導數的計算公式是：

梯度的意義

　　現在再來看看梯度告訴了我們什么。

　　方向導數計算了梯度向量在u方向上的分量，讓我們試着找出w在哪個方向上變化的最快，哪個方向上變化最慢或者根本不變。

　　由於已知w函數和w上的一點，所以梯度是已知的，不確定的是方向，根據方向導數的公式可以得到以下結論：

　　由此得到了梯度的一種理解：梯度的方向是在給定點處令w的值增加得最快的方向；或者說在給定點處朝梯度方向運動，w的值將變化的最劇烈，變化率，也就是斜率等於梯度的模長。梯度的反方向，w的值減小的最快；梯度垂直的方向，也就是與等值面相切的方向，w不變。如果把w看作爬山，w上的給定點是你站立的位置，那么梯度方向就是向上爬山時最陡峭的地方，梯度的逆向就是向下爬時最陡峭的地方，梯度垂直方向就是站立點的等高線。在等高線上，梯度總是指向值最大的方向：