一、偏導數
對於一元函數y=f(x)只存在y隨x的變化，但是二元函數z=f(x,y)存在z隨x變化的變化率，隨y變化的變化率，隨x﹑y同時變化的變化率。如下圖所示
1、偏導數定義
設函數$z=f(x,y)$在點(x0,y0)的某個鄰域內有定義，定y=y0，一元函數$f(x_{0},y_{0})$在點x=x0處可導，即極限$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }\frac{f(x_{0}+\Delta x,y_{0})-f(x_{0},y_{0})}{\Delta x}=A$。
則稱A為函數$z=f(x,y)$在點(x0,y0)處關於自變量x的偏導數。記作：$f_{x}(x_{0},y_{0})$、$\frac{\partial z}{\partial x}\left| _{\begin{smallmatrix} x={{x}_{0}} \\ y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$、$\frac{\partial f}{\partial x}\left| _{\begin{smallmatrix} x={{x}_{0}} \\ y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$或者$z_{x}\left| _{\begin{smallmatrix} x={{x}_{0}} \\ y={{y}_{0}} \end{smallmatrix}} \right.$
2、幾何意義：
偏導數$f_{x}(x_{0},y_{0})$就是曲面被平面$y=y_{0}$所截得的曲線在點M0處的切線M0Tx對x軸的斜率，偏導數$f_{y}(x_{0},y_{0})$就是曲面被平面$x=x_{0}$所截得的曲線在點M0處的切線M0Ty對y軸的斜率。如下圖所示
3、例題
求$f(x,y)=x^{2}+3xy+y^{2}$在點（1，2）的偏導數。
二、方向導數
1、介紹
在函數定義域的內點，對某一方向求導得到的導數。一般為二元函數和三元函數的方向導數，方向導數可分為沿直線方向和沿曲線方向的方向導數。現在假設如下圖所示，有兩火苗分別沿x、y軸蔓延，問螞蟻沿什么方向跑才能存活？
可以很容易想到沿矩形的對角線跑。現在有函數$z=f(x,y)$
可以得出距離$\left | PP' \right |=\rho =\sqrt{(\Delta x^{2})+(\Delta y^{2})}$，然后可以得出函數值的增量$\Delta z=f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)$。
如果函數的增量，與這兩點距離的比例存在，則稱此為在P點沿着L的方向導數，用公式表達就是$\frac{\partial f}{\partial l}=\lim\limits_{\rho \rightarrow 0 }\frac{f(x+\Delta x,y+\Delta y)-f(x,y)}{\rho }$
特別的，函數$f(x,y)$在X軸正向$\vec{e_{1}}$={1,0}，Y軸正向$\vec{e_{2}}$={0,1}的方向導數分別為$f_{x},f_{y}$，負方向導數為$-f_{x},-f_{y}$
2、定理
如果函數$z=f(x,y)$在點$P(x,y)$是可微分的，那么在該點沿任意方向L的方向導數都存在，公式表達為$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi $，$\varphi $為X軸到L的角度。
3、例題
求函數$z=xe^{2y}$在點$P(1,0)$處沿從點$P(1,0)$到點$Q(2,-1)$的方向的方向導數。
示意圖如下：
求解過程如下：
三、梯度
1、梯度
函數$z=f(x,y)$在平面域內具有連續的一階偏導數，對於其中每一個點$P(x,y)$都有向量$\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$，則其稱為函數在點P的梯度。梯度的本意是一個向量（矢量），表示某一函數在該點處的方向導數沿着該方向取得最大值，即函數在該點處沿着該方向（此梯度的方向）變化最快，變化率最大（為該梯度的模）。用公式表達來就是：
$gradf(x,y)=\frac{\partial f}{\partial x}\vec{i}+\frac{\partial f}{\partial y}\vec{j}$。
設$\vec{e}=\cos \varphi \vec{i}+\sin \varphi \vec{j}$是方向L上的單位向量。
由方向導數公式可知：$\frac{\partial f}{\partial l}=\frac{\partial f}{\partial x}\cos \varphi +\frac{\partial f}{\partial y}\sin \varphi=\left \{ \frac{\partial f}{\partial x}, \frac{\partial f}{\partial y}\right \}\cdot \left \{ \cos \varphi ,\sin \varphi \right \}=gradf(x,y)\cdot \vec{e}=\left | gradf(x,y) \right |\cos\theta $。
其中$\theta =(gradf(x,y),\vec{e})$。
2、結論
只有$\cos (gradf(x,y),\vec{e})=1$，$\frac{\partial f}{\partial l}$才有最大值。
函數在某點的梯度是一個向量，它的方向與方向導數最大值取得的方向一致，從而而它的模正好是最大的方向導數，也就是方向導數的最大值。
3、例題
設$u=xyz+x^{2}+5$，求grad$u$，並求在點$M(0,1,-1)$處方向導數的最大（小）值。
4、小結
（1）、方向導數的概念，注意方向導數與一般所說偏導數的區別
（2）、注意梯度其實是一個向量。
（3）、方向導數與梯度的關系，梯度的方向就是函數f(x，y)在這點增長最快的方向，梯度的模就是方向導數的最大值。
四、微積分
1、介紹
微積分誕生於17世紀，主要幫助人們解決各種速度，面積等實際問題，如下圖所示，怎么才能求得曲線的面積呢？
首先對於一個矩形來說，我們可以輕松求得其面積，那能不能用矩形代替曲線形狀呢？如果能行的話，那應該用多少個矩形來代替曲線呢？
在ab之間插入若干個點，這樣就得到了n個小區間，這樣的話每一個小矩形的面積為：$A_{i}=f(\xi _{i})\Delta x_{i}$，這樣的話對每個小矩形的面積求和的話就可以近似得到曲線的面積：$A\approx \sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$
當分割無限加細，每個小區間的最大長度為$\lambda $，此時$\lambda \rightarrow 0$。由此可得曲線的面積為：$A=\lim\limits_{\lambda \rightarrow 0 }\sum\limits_{i=1}^{n}f(\xi _{i})\Delta x_{i}$
從求和角度來看，我們需要盡可能的將每一個矩形的底邊無窮小，而萊布尼茲為了體現求和的感覺，給S拉長了，簡寫成$\int f(x)dx$
2、微分：
由於無窮小的概念，dx,dy都叫做微分。所謂微積分就是把這些微分積起來。
微分是什么？其實很簡單，用兩個式子就可以很簡單的描述了：$\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }dy=0,\lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0 }dx=0$
3、定積分
當|Δx|—>0時，總和S總是趨於確定的極限I，則稱極限I為函數f(x)在曲線[a，b]上的定積分
其中，積分值和被積函數與積分曲線有關，與積分變量字母無關。
當函數f(x)在區間[a，b]上的定積分存在時，稱f(x)在區間[a，b]上可積。
4、定積分幾何含義
面積的正負值：$\begin{matrix}f(x)>0, & \int_{a}^{b}f(x)dx=A\\ f(x)<0, & \int_{a}^{b}f(x)dx=-A\end{matrix}$
也就是說如果定積分的值為正值，那它就表示曲邊梯形的面積，如果求出來是負值的話，那它就表示曲邊梯形的面積的負值
5、定積分性質：
1、$\int_{a}^{b}[f(x)\pm g(x)]dx=\int_{a}^{b}f(x)dx\pm \int_{a}^{b}g(x)dx.$
2、$\int_{a}^{b}kf(x)dx=k\int_{a}^{b}f(x)dx$，k為常數。
3、假設a<c<b，則$\int_{a}^{b}f(x)dx=\int_{a}^{c}f(x)dx+\int_{c}^{b}f(x)dx$。
4、如果在區間[a，b]上$f(x)\geqslant 0$，則$\int_{a}^{b}f(x)dx\geqslant 0.(a<b)$。