1.方向導數定義
設開集\(D \subset \mathbf{R}^{n}, f : D \rightarrow \mathbf{R},\overrightarrow{u}\)是一個方向，如果極限\(\displaystyle\lim _{t \rightarrow 0} \frac{f\left(x_{0}+t u\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}\)存在，那么這個\(\boldsymbol{極限}\)稱為函數\(\boldsymbol{f}\)沿方向\(\overrightarrow{u}\)的方向導數，記作\(\displaystyle\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{u}}\left(\boldsymbol{x}_{0}\right)\)
2.Notice and comments
2.1與一維導數不同
比較值得注意的是此處與一元導數的定義完全不同的一點是，按照這個定義，\(f(x)\)的方向導數在考察相反方向時，方向導數正負號相反。
\[\displaystyle\frac{f\left(x_{0}+t(-u)\right)-f\left(x_{0}\right)}{t}=-\frac{f\left(x_{0}+(-t) u\right)-f\left(x_{0}\right)}{-t} \]這里對比一維情況失去了一種對稱性（即相反方向的方向導數相同），這是由於對於一維的情況，兩點的”距離“可以簡單的用一個有正負的數字表示，但是對於高緯度，兩個點的距離沒有正負的概念（當然可以強行定義，根據他們之間差向量的分量有多少正多少負來定義），這樣，定義方向導數時，分母的正負是沒有辦法確定正負的。所以失去的對稱性可以認為是高維時難以用正負表示兩個點的方向關系。
2.2二元代換
在考察二元函數時，比較普遍的一種方法是，借助三角代換\(u=(\cos \theta, \sin \theta)\)
3。偏導數和偏微分算子
仍使用上個subsection的空間，考察這個空間的一組標准基：
\[\begin{aligned} \boldsymbol{e}_{1} &=(1,0,0, \cdots, 0) \\ \boldsymbol{e}_{2} &=(0,1,0, \cdots, 0) \\ & \cdots \cdots \\ \boldsymbol{e}_{n} &=(0,0, \cdots, 0,1) \end{aligned} \]則\(f\)在\(x_0\)處沿\(e_{i}\)的方向導數稱為，\(f\)在\(x_0\)處的第i個偏導數，簡記為：
\[\displaystyle\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(x_{0}\right) \quad or \quad D_{i} f\left(x_{0}\right) \]並稱\(D_{i}=\frac{\partial}{\partial x_{i}}\)為第i個偏微分算子\
在偏導數這里我們發現，偏導數由於沒有規定和考慮反向，是一個確定的值。
4.偏導數的幾何意義
我們考慮一個簡單的情況，即空間為二維情況。
用\(y=y_0\)去截\(z=f(x,y)\),也就是曲線\[\displaystyle\left\{\begin{array}{l} {z=f(x, y)} \\ {y=y_{0}}\end{array}\right.\]偏導數\(\frac{\partial}{\partial x} f\left(x_{0}, y_{0}\right)\)自然就是這個曲線在\(x_0\)處的導數
4.1consideration
一個容易提出的考慮是，如果我們用\(z_0\)去截取\(z=f(x,y)\)，怎么去計算得到曲線在對應點的斜率呢？即\(\frac{\partial y}{\partial x}\)
這個問題留到以后考慮
consideration
偏導的提出不僅僅是為了幾何意義這么簡單，如果一個函數比較好的話，他應該能有一個高維的切面，這使得他的導數可以很簡單的寫成偏導數的和。